纵观历史，
人类一直在试图了解物质世界的基本活动。
我们尽力发现规则和模式，
确定我们周围物体的特性， 彼此之间的复杂关系。
几千年来，全世界学会团体发现 一个在所有学科之上的学科，
产生了
关于物质世界潜在真象的可靠知识。
这学科就是数学。
我叫马库斯.都.桑托伊，是一个数学家。
我把自己看作模式搜寻者，搜索隐藏在
表面混乱和周围世界复杂性背后的结构。
在我搜索模式和秩序过程中， 我借鉴之前伟大数学家的工作，
那些属于世界文明的人，
发明创造了宇宙书写的语言。
我想带你一起穿越时空旅行， 沿着数学发展的轨迹，
从数学的起源到今天的精密学科。
使用计算机生成的图像，我们将探索
开创性的发现给予最早的文明 认识数学世界的能力。
这是数学的故事。
我们的世界由模式和序列组成。
他们就在我们身边。
白昼变成黑夜。
动物迁徙的路线年年不变。
地貌不断改变。
数学开始的原因之一， 由于我们需要找到一个方法，
搞清自然模式的含意，
数学中最基本的概念 - 空间和数量
是我们大脑固有的属性。
即使动物，也有一些距离和数感，
当寡不敌众时，评估战斗还是逃走，
计算猎物是否在攻击距离之内。
理解数学决定生死存亡。
但却是人学习了这些基本概念，
并开始建立基本原理。
某种程度上，人类开始认出模式，
建立联系，计算和建立周围世界秩序。
至此，一个全新的数学宇宙开始出现。
这里是尼罗河。
一千年来，它一直是埃及人的生命源泉。
我来这里，
因为它是数学发祥地之一。
早在公元前6000年左右， 人们就放弃了游牧生活，开始定居于此。
肥沃的土壤很适合农耕，
每年埃及农业最关心的事件 莫过于尼罗河的定期泛滥。
这被作为新的一年开始的标志。
埃及人记录了事情发生的周期，
为了建立这样的日历，
你需要计算天数，例如，
月相发生的间隔，
尼罗河水定期泛滥之间相隔的确切天数。
根据天象确定季节成了十分重要的工作，
这有利于他们管理国家和教会的事务。
在尼罗河两岸，古埃及人定居下来，
相信河神--哈比神(Hapy)， 掌管着每年尼罗河洪水的泛滥。
人们进献一部分农业收益，
藉以回报神王的赐福。
当定居点日益变大， 寻找管理的办法变的很有必要。
需要计算土地的面积，农作物的产量预测，
征收和管理税收。
总之，人民需要计算和测量。
埃及人以人的身体为基准，
下面是测量单位的演变过程。
掌尺（palm）是一个人手掌的宽度，
腕尺(cubit)是肘到中指端的长。
土地肘（Land cubits）是腕尺乘以100的积，
法老的测量员用于丈量土地的基本单位。
古埃及数学的发展
与官方关系密切。
我们一开始就能看到这个联系，
从数系的发明，
实际上贯穿整个埃及历史。
对于古王国，我们仅存的证据是度量衡系统，
用来测量面积，长度。
这是官方必需做的事。
丈量农民的土地面积， 征收相应的地税至关重要，
或者，如果河水泛滥损坏了部分土地， 他可以要求退税。
这意味着法老的测量员经常需要丈量
不规则的土地面积。
需要解决实际问题
使他们成为最早的数学创新者。
埃及人需要某种方式记录他们的计算结果。
所有的象形文字， 散落在开罗(埃及首都)的旅游纪念品里，
我在寻找印有第一个数字图案的旅游纪念品。
非常难找。
最后，我找到了。
埃及人采用十进制系统， 可能来自于人类恰好有10个手指。
1的符号就是一竖，
10，1根后跟骨，100，1圈绳子， 1000，1朵莲花。
这件T恤多少钱？
呃，25。
25！是啊！那就是2根后跟骨和5竖。
难道你不准备给我“充充电”吗？这里，100万！
100万？天哪！
这是100万。
100万，是的，这是相当大的数！
象形文字虽然很美， 但埃及数字系统有致命的缺陷。
他们没有位值的概念，
这样一竖就只能代表1，
不能表示100或1000。
虽然只要写一个符号就能表示100万，
而现在要写7个符号（1000000）， 但如果你想写100万减1，
那么可怜的古埃及抄写员要写9竖，
9根后跟骨，9圈绳子，等等，
总共54个符号。
尽管这一数字系统存在缺点， 埃及人仍是卓越的问题解决者。
我们知道这些，因为有少量的记载被保存下来。
埃及抄写员在纸莎草（papyrus）压制的草片上
记录他们的数学发现。
随着时间的过去， 芦苇做成的草片很容易腐烂，
古埃及的许多秘密也一起消亡了。
但还有一个文献保存下来了，
莱因德（Rhind）纸草书 可谓古埃及最重要的传世数学文献。
从中我们可以了解
埃及人处理什么类型数学问题的一个概貌。
显示他们已经掌握了乘法和除法运算法则。
莱因德纸草书里还演示了两个大数如何相乘。 （即叠加法）
但要说明这个方法， 我们取两个小一点的数来演示。
让我们算3乘以6。
抄写员取的第一个数，3，并把它在一列。
在第二列中，他放数1。
然后，他将每列的数翻一番，3变成6 ...
6变成12。
然后在第二列中，1变成2，
2变成4。
现在，下面是真正聪明的地方。
抄写员要算3乘以6。
因此，他取第二列中2的乘方，
2加4等于6。
然后，他将回到第一列，
取对应于2和4这些行。
是，6和12。
把这两个数加起来，就得到答案18。
对我来说，这个方法最引人注目的是
第二个数字写成了2进制。
六是1个4，加1个2，没多余了。
表示成二进制是1-1-0。
埃及人早就熟悉2进制,
比数学家和哲学家莱布尼茨(Leibniz)早3000年，
今天，整个技术世界依赖于古埃及曾使用的相同原理。
莱因德纸草书是公元前1650年左右 阿姆士(Ahmes)抄录。
它关心的是寻找解决日常问题的办法。
其中几个问题涉及面包和啤酒，
这是不足为奇的， 因为埃及工人用食品和饮料支付。
有一个关于如何将9个面包平均分配给10人，
不准发生打架。
我这里有9个面包。
我把其中5个，对切开。
当然，解法可以如下： 9个人每人把面包刮下十分之一，
把一堆面包屑给第10人。
但是，埃及人制定了更完美的解决方案
把剩下的4个每个切成3等份。
把其中2个三分之一，再切成5等份，
这样每片是十五分之一。
最后每个人总共得到半个
加三分之一个
加十五分之一个面包。
正是通过这些貌似实际问题
我们开始看到一个更抽象的数学发展。
突然，新的数字--分数出场了，
不久以后，埃及人开始探索这些数的计算规则。
分数对市场交易中的分配问题有实际意义。
为了记录这些交易， 埃及人设计符号记录新的数字。
其中这些分数的最早表述
来自一个有着伟大神秘意义的象形文字。
它被称为何露斯之眼。
何露斯(Horus)是古王国的神， 描绘成半人半鹰。
据传说，何露斯的父亲被他另一个儿子所谋杀， 赛特(Seth)。
何露斯决定向赛特复仇。
在一次激烈战斗中，
塞特扯出何露斯的眼睛， 撕成碎片散布在埃及。
但是，众神出手相助何露斯。
他们找齐了分散的碎片，重新组装了眼睛。
眼睛的每部分代表了一个不同的分数。
每个分数都是前一个的一半。
尽管最初的眼睛代表一个整体，
重组的眼睛却短了1/64。 （1-1/64=1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +1/32 +1/64）
虽然埃及人停留在1/64，
但图中隐含了
增加更多分数的可能性，
每次2等份，这些数的和越来越接近1， 却永远达不到。
（即1= 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +1/32 + …）
第一次隐含了几何级数的内容。
它以点数的形式出现在莱因德纸草书。
但是，无穷级数的概念仍然隐藏，
直到几世纪以后，亚洲数学家发现它。
制订了一个包括新分数的数字系统，
埃及人开始利用他们的知识
理解他们每天遇到的形状。
这些形状很少是正方形或长方形，
在莱因德纸草书里我们发现一个 更加有机的形态---圆面积公式。
计算圆面积的惊人之处在于它的精确性。
他们如何发现计算的方法目前只是推测，
因为草书中没有叙述他们的方法。
特别引人注目的原因是
计算圆的图形依赖于通过
古埃及人已经理解的图形来近似。
莱因德纸草书指出，
圆的面积是直径的九分之八的平方。
(或直径是9的圆面积等于边长为8的正方形面积。)
但这种关系如何建立的？
我从古老的游戏“曼卡拉”(Mancala)寻找解答。
曼卡拉棋盘被发现雕刻在神殿的屋顶。
开始时，每个玩家拥有同样数量的石子，
游戏的任务是沿着棋盘移动石子，
途中，占领对手的计数器。
当玩家围坐着，等待下一步时，
或许其中一个意识到， 有时用一个相当漂亮的方法
可以把球填满曼卡拉棋盘的圆孔。
他可能持续实验，试图组成一个更大的圆。
也许他注意到，64个石子，8的平方，
可以组成一个直径为9个石子的圆。
通过重新排列石子，正方形近似于圆。
因为圆的面积是pi*半径的平方，
埃及人的计算给出了pi的第一个近似值。
圆的面积为64，除以半径的平方，
在这里是4.5的平方，得到了pi的一个近似值。
所以，64除以4.5的平方等于3.16，
跟真值（3.1415926535...）误差只有0.02。
真正精彩的是，
埃及人使用这些小图形组成更大的图形。
但还有一个埃及的象征--金字塔，
我们至今尚未用数学解开。
我见过很多照片， 但不相信会给我会留下深刻印象。
但当面对面时，你就会明白为什么他们被誉为
古代世界七大奇观之一。
他们实在是激动人心。
在当时肯定更加令人刮目相看，
当边象玻璃般光滑，反射着沙漠阳光。
对我来说， 它看起来像一面隐藏在沙漠下的镜子塔。
整个形状组成了完美的对称八面体。
有时，在沙漠炎热的微光下， 仿佛可以看到这个形状。
这种内对称暗示这些形状令数学家印象深刻。
金字塔只是比这些完美形状短一点，
但有些人提出了另一项重要的数学概念
可能隐藏在伟大金字塔中的比例---黄金比例。
两段距离成黄金比例，指
其中短段与长段之比等于长段与两段和之比。
黄金比例被认为是完美的比例，
在自然界中到处可见，
几千年来，艺术家、建筑师和设计师 在创作中一直使用黄金比例。
是否金字塔的建筑师意识到这个重要的数学思想，
或者出于本能，因为它满足审美属性， 我们不得而知。
对我来说，最令人印象深刻的是
数学的光芒使金字塔建造起来，
包括隐含了一个古代伟大定理 ---毕达哥拉斯定理（勾股定理）。
为了使建筑物和金字塔都是完美的直角转角，
埃及人在绳上打结。
有些观点认为，埃及人已经意识到，
如果三角形的三条边分别取3，4，5个结， 它一定是直角三角形。
这是因为3的平方，加上4的平方，等于5的平方。
因此，我们已经有了一个完美的毕达哥拉斯三角形。
事实上，任何一个三角形 满足这种关系就一定是直角三角形。
但我敢肯定地说，
埃及人并没有从3，4，5上升到毕达哥拉斯定理。
我们不期望找到一般举证，
因为这不是埃及的数学风格。
每个问题的解决都使用具体的数，
l如果这个方法行之有效，
它就会作为一个结果， 具体的给定数字加以使用，
埃及数学教科书中没有一般证明。
这将是大约2000年前，古希腊人和毕达哥拉斯
将证明任意直角三角形共有的某些属性。
这不是唯一的数学思想，埃及人能预料的。
4000年前的莫斯科纸草书中（Moscow papyrus），
我们发现了一个求截棱锥体的体积公式， 说明了第一次隐含了微积分的工作。
金字塔是古埃及文明的代表，
你可能期望这样的问题作为专栏在数学教科书中出现。
根据现代的数学标准，
能计算一个截棱锥体的体积
说明古埃及的数学已达到相当高的水平了。
建筑师和工程师肯定想要一个公式
能够计算建造金字塔所需原材料的数量。
他们能够想出这样漂亮的方法， 仍是古埃及数学的迷。
为了了解他们如何得到公式，
开始建造金字塔，使最高点正好位于一个角上。
这样的三个拼在一起组成一个长方体，
所以金字塔的体积是长方体体积的三分之一。
即长，乘以宽，乘以高，再除以3。
而这表明了第一次隐含微积分的工作，
比莱布尼兹和牛顿产生这个理论早了几千年。
假设你把金字塔切成片，
你就可以滑动每一层， 使吉萨金字塔看上去更对称。
然而，尽管层的重排， 金字塔的体积并没有改变。
因此，相同的公式有效。
埃及人是惊人的创新者，
他们创造新数学的能力是难以置信的。
对我来说，他们揭示了几何和数字的威力，
并实现了令人兴奋的数学发现的第一步。
数学史上还有另一个可以跟埃及媲美的文明古国。
我们知道他们的成就更多一些。
这是大马士革(叙利亚首都)， 虽然过去了5000多年，
今天仍然充满活力，一幅繁华景象。
它曾是贸易路线上的枢纽， 联系着埃及和古美索不达米亚。
从公元前1800年，巴比伦人控制了今天的伊拉克， 伊朗和叙利亚大部分地区。
为了扩张和运转他们的帝国， 他们成了熟练处理数字的好手。
例如，我们的法典， 告诉我们社会组成的方式就是秩序。
我们知道的人最多的是文士---有学问能算账的人，
专门给富有家庭、寺庙、宫殿做记录。
公元前2500年，文士学校在各地就存在了。
当还是儿童时，就被送到那里当文士， 学习读，写和算术。
上课的内容抄写在已有的泥板书上，
这帮助了巴比伦人管理和发展他们的帝国。
然而，我们今天挖掘出来的泥板 很多不是官方文件，而是儿童的练习题。
这些文物给了我们一个难得的深入 了解巴比伦人怎么学习数学。
这是一个公元前18世纪的几何教科书。
我想你能看到有很多图片在上面。
每个图片下面是关于图片问题的文字说明。
因此，例如这一个就说，画1个正方形，周长60，
在正方形里面， 画4个圆 - 它们的面积是多少？
这个小泥板书写的时间至少比这里的泥板晚1000年，
但有一个非常有趣的关系。
在一个正方形里，也有4个圆，
画的很粗糙，但这不是一本教科书， 它是学校的练习题。
成人文士通过泥板给学生举例，
帮助他们完成家庭作业。
像埃及人一样，
巴比伦人感兴趣的是解决测量和称重的实际问题。
巴比伦解法写的有点象数学食谱。
文士只要简单的遵循和记录步骤就能得到结果。
以下是他们解决问题的一个例子。
我这里有一捆枝肉桂， 但我不直接称出它的重量。
相反，我取4倍重量，并把它们加到天平上。
现在，我加20gin。gin是古巴比伦的重量单位。
每一样我取一半，然后再把它们加进来...
两捆和10gin。
一边总重等于1mana，其中1mana等于60gin。
在这里，我们有了史上第一个数学方程，
一边总重等于1mana。
那么每捆枝肉桂重多少？
不需用任何代数语言，
他们可以巧妙地处理数量得每捆枝肉桂重5gin。
在我看来，这类问题给了数学一个坏名声。
你可以指责古巴比伦人， 学校里教这些含混不清的问题。
但是，古巴比伦的文士善于解答这种问题。
有趣的是，他们并不像埃及人使用10进制， 他们用60进制。
巴比伦人发明自己的数系，象埃及人， 通过使用他们的手指。
不用数手上的10个手指，
巴比伦人发现了一个更有趣的方式来数身体部位。
他们用一只手的12个关节，
加另一只手的5个手指
就能得到12乘5，即60个不同的数。
举例来说，这个数字是2个12，24，
然后，1，2，3，4，5，组成29(29=24+5)。
60这个数还有另外一个很好的性质。
它有多种因式分解方式。
这里有60颗大豆。
我可以排2行，每行30颗。
3行，每行20颗。
4行，每行15颗。
5行，每行12颗。
或6行，每行10颗。
60的整除性使它成为算术完美的基础。
60进制非常成功，今天我们仍然使用它。
每次当我们想知道几点时，就会用60来计算，
一分钟60秒，1小时60分钟。
但，巴比伦人的数字系统最重要特点是， 它采用了位值制。
正如我们用十进制，能知道有几百几千几十，
巴比伦的数都是60进制。
不用发明新符号就能表示越来越大的数，
他们写1-1-1，这个数字就代表3661。
这个发现的驱动力是巴比伦人渴望绘制夜空的图表。
巴比伦人的日历是根据月亮的周期。
他们需要一个方式记录天文数字。
逐月，逐年，这些周期被记录下来。
大约公元前800年，就有月食的完整记录。
巴比伦的测量系统在当时是相当复杂的。
他们有一个角测量系统，
一个圆是360度，1度又分为60分钟，
一分钟进一步分为60秒。
这样，他们就有了测量的正则系统， 与他们的数系完美和谐，
因此它不仅适合观察，而且容易计算。
但为了计算和处理这些大数，
巴比伦人需要发明了一种新的符号。
在这样做的过程中，
他们为数学史上的一个重大突破 --零打好了基础。
在初期，巴比伦人为了标记数中间的一个空位，
只会留下一个空白。
因此，他们需要一种方式表示数中间没有。
他们使用了一个符号， 作为某种符号标记，一个标点符号，
它意味着中间的数为零。
这是第一次，零以某种形式出现在数学宇宙中。
但是，需要过1000年， 这个小位置才变成了一个数。
建立了这样一个复杂的数系，
他们驾驭它驯服美索不达米亚干旱和贫瘠的土地。
巴比伦工程师及测量员发现了巧妙方法
取水输送到农田。
再次，他们用数学方法解决了实际问题。
叙利亚奥隆特斯山谷仍然是一个农业中心，
今天，古老的灌溉方法仍像几千年前一样使用。
巴比伦的许多数学问题涉及测量土地，
在这里，我们第一次看到使用二次方程，
巴比伦数学的最伟大遗产之一。
二次方程涉及确定未知量的平方。
我们把这叫做扯平测长法， 因为它构成一个正方形的面积，
在计算土地面积环境下，
二次方程式自然就产生了。
下面是一个典型的问题。
如果一块地的面积是55个单位，
若其中一边比另一边多6个单位，
问：短的那条边长多少？
巴比伦的解决办法是把地重新分割成一个正方形。
去掉最后的3个单位
把它移到边上。
现在，缺了一片3X3的面积， 所以把这块加上去。
这块地的面积增加了9个单位。
这组成的新的面积是64个单位。
所以，正方形的边长是8个单位。
解决问题能手知道，一边增加了3个单位。
因此，原来的长度必须是5个单位。
它看起来可能不像， 但这是历史上第一个二次方程式。
在现代数学中， 我用代数符号语言来解决这个问题。
巴比伦人的惊人成就是， 他们利用这些几何游戏找到了答案,
没有求助于任何符号或公式。
巴比伦人在数学中自得其乐。
他们爱上了数学。
巴比伦人对数字的迷恋很快就在闲暇时间体现。
他们是狂热的游戏玩家。
巴比伦人和他们的后代玩一种十五子游戏
(双方各持十五子, 掷骰行棋)超过5000年。
巴比伦人喜欢玩棋类游戏，
从皇家陵墓中十分豪华的棋盘游戏 到学校发现的棋盘游戏，
到宫殿入口处刻的棋类游戏，
以便卫兵无聊的时候就有的玩了，
他们用骰子轮流移动计数器。
玩家利用闲暇时间用数字尝试， 试图以智取胜对手，
他们心算速度非常快，
因此，他们在闲暇时间进行计算，
甚至不认为是一件辛苦的数学工作。
现在轮到我了。
我已经好久没玩十五子游戏， 但我估计我的数学给我一搏的机会。
轮到你了。六...我需要移动一些东西。
但这并没我想的那么容易，
啊！到底是什么呢？
是啊。这是1，这是2。
现在，你有麻烦了。
所以我不能移动任何东西。你不能移动这些。
哦，天哪。
你看你。
3，4。
就像古巴比伦人， 我的对手都是数学战术大师。
是啊。
跟我握手吧! 不错的游戏。
巴比伦人最早意识到
使用对称的数学形状做骰子，
但更激烈的辩论
他们可能最早发现另一重要图形的秘密。
直角三角形。
我们已经看到埃及人是 如何使用3-4-5构成直角三角形。
但巴比伦人知道这个和其他类似形状更精益求精。
这是现存的最有名和存在争议的泥板文书。
它叫普林顿322。
许多数学家相信它显示了巴比伦人
可能已经知道直角三角形的性质，
斜边的平方等于两直角边的平方和，
在希腊人宣布之前几世纪就知道了。
这是一个最有名的巴比伦泥板的拷贝，
普林顿322，
这些数字反映了三角形的长，宽，
这是斜边，另外一边在这里，
这列数的平方再加上这列数的平方
等于斜边的平方。
他们排列成递减的角度，
一个非常统一的基础，
表明了有人理解数字如何组合在一起。
这里共有15个完美的毕达哥拉斯三角形， 所有的边都是整数(毕达哥拉斯数)。
人们很容易认为， 巴比伦人是毕达哥拉斯定理的第一人，
几代历史学家都想下的结论。
但也可能是一个三个数的集合，
凑巧满足毕达哥拉斯定理。
这不是毕达哥拉斯三元数组的一个系统解释，
它仅仅是数学教师做了一些复杂计算，
为了生成一些非常简单的数，
为了给学生留一个关于直角三角形的问题，
在这个意义上， 毕达哥拉斯三元数组他只是顺便提一句。
最有价值的线索， 他们知道的东西可能位于别处。
这是大约4000年前，一块学校练习的小泥板文书 （编号为YBC7289的泥板）
揭示巴比伦人确实知道直角三角形的性质。
使用毕达哥拉斯定理， 找到了一个令人震惊的新数。
沿对角线得出一个非常近似2的平方根，
表明，它是已知的，并在学校中已经使用。
为什么这个数很重要？
因为2的平方根就是我们现在所谓的无理数，
也就是说，如果我们把它写成小数，
是无限不循环小数。
这一计算影响深远。
首先，它意味着巴比伦人知道毕达哥拉斯定理
在时间上比毕达哥拉斯早1000年。
其次，把结果精确到4位小数（60进制 1； 24，51，10=1.41421296）显示了惊人的计算能力，
及对数学细节的热情。
巴比伦人的数学熟练程度是惊人的，
近2000年来， 他们的智力进展在古代世界领先。
但是，当他们的帝国开始衰落， 他们的智力活力也失去了光辉。
公元前330年，希腊人扩张他们的帝国 到美索不达米亚。
这是叙利亚共和国(Syria)中部的巴尔米拉， 曾是希腊人建立的伟大城市。
数学知识需要建立与 完善几何结构令人印象深刻。
就像以前的巴比伦人， 希腊人对数学充满热情。
希腊人是聪明的殖民者。
他们从入侵文明中吸取精华，
推进自己的权力和影响力，
很快他们作出自己的贡献。
我认为，他们最大的创新是在思想上的转变。
他们所做的将影响人类几个世纪。
给我们显示了证明的威力。
不管怎样，他们决定， 他们必须对自己的数学建立一个演绎系统，
典型的演绎系统开始于某些公理， 你假设是正确的。
就好像你承认某个定理，它是不证自明的。
然后，使用逻辑的方法和非常谨慎的步骤，
你从这些公理出发可以证明定理
利用这些定理再证明更多的推论， 就像滚雪球。
证明给数学提供力量。
证明的威力，
意味着希腊人2000年前的发现到今天还是对了，
我需要迎着西行进入古希腊帝国的中心了解详情。
对我来说，希腊数学一直是英雄和浪漫的。
在我去萨摩斯岛(爱琴海东部的希腊属岛屿)的路上， 不到土耳其海岸一英里。
这已成为等同于希腊数学的诞生地，
直至一个人的传说。
他的名字叫毕达哥拉斯(Pythagoras)。
传说围绕着两千多年前，
他的生活和做出的贡献，及取得的地位。
不管正确与否，他被认为
首先把数学从记账工具转变成分析学科， 象我们今天一样。
毕达哥拉斯是一个有争议的人。
由于他没有留下数学著作，
很多人质疑他是否真的解决了任何归咎于他的定理。
公元前600年，他在萨摩斯岛创建了学校，
但他的所传授的知识是保密的， 毕达哥拉斯学派是一个奇怪的教派。
充分证据表明有毕达哥拉斯学派的学校，
它们看起来可能比我们的哲学学校更像教派，
因为他们不只分享知识， 他们也分享一种生活方式。
可能是群体生活，
他们似乎参与了城市的政治。
一个特色，毕达哥拉斯打破了性别界限， 他们吸收妇女会员。
不过，毕达哥拉斯， 了解埃及人和巴比伦人知道的东西
如直角三角形的性质。
著名的毕达哥拉斯定理
指出，任取一个直角三角形，
每条边为边长做一个正方形，那么，
斜边上的正方形面积等于 两个直角边上正方形面积之和。
对我来说，正是这一点，
数学和与其他科学之间产生了鸿沟，
证明很简单，同时它的影响也是毁灭性的。
取四个直角三角形覆盖到表面。
你可以看到内部正方形的边长
等于三角形的斜边。
通过左右滑动三角形，
我们看到，
我们可以把大正方形分成两个小正方形，
其中边长等于三角形的两个直角边。
换言之，斜边组成的正方形面积等于 两个直角边组成的正方形面积之和。
这就是毕达哥拉斯定理。
它说明了希腊数学的特色主题之一 -
求助于美丽的几何认证，而不是依赖于数。
毕达哥拉斯可能不受欢迎， 很多发现创造归功于他的名下。
最近一直有争议，但有一个数学理论， 我不愿意从他身上抢走。
这是与音乐有关的调和级数的发现。
据说，有一天走过一个铁匠铺，
毕达哥拉斯听到铁砧的敲打声，
注意到怎样才能奏出和谐悦耳的音符。
他认为，必定有某种合理的解释，
为什么音符听起来非常吸引人。
答案是数学。
以弦乐器进行实验，毕达哥拉斯发现
和谐音符之间的间隔时间总能表示成整数比例。
下面是他如何构建他的理论。
首先，在空弦上弹一个音符。
接下来，取其长度的一半。
听起来跟第一个音符几乎一样。
事实上，这是一个高八度，但关系很强， 我们给这些音符一个相同的名称。
现在取三分之一的长度。
我们得到了另一个音符，和前两个音符一起弹奏 是悦耳的，这叫谐和（或调和），
当取弦的长度不是一个整体比， 我们得到不谐和音。
据传说，毕达哥拉斯对这个发现非常兴奋，
他断定，“万物皆数”。
但他和他的追随者遇到了和他们的信条相抵触的挑战，
它作为毕达哥拉斯定理的结果出现。
传说，他的追随者之一， 数学家希帕索斯（Hippasus），
考虑了一个问题：
两条边长为1的直角三角形其斜边长多少？
毕达哥拉斯定理暗示了斜边长是一个平方是2数。
毕达哥拉斯学派假定答案是一个分数，
但是，希帕索斯发现无论他如何努力， 这一长度不能用分数表示。
最后，他意识到自己错了。
假定这个值是分数是错误的。
耶鲁大学收藏的一块巴比伦人 泥版上载有2的平方根的值。
然而，他们没有意识到这个数字的特殊性质。
但希帕索斯却发现了。
这是一个无理数。
这一新数的发现，
就像哥伦布发现了新大陆， 或博物学家发现了一个新物种。
但这些无理数不符合毕达哥拉斯的信条。
后来希腊评论家讲述毕达哥拉斯学派 发誓保密的故事，
但希帕索斯泄露了这一发现，
在他企图传播他们的研究时被抛进了大海。
但是，这些数学发现不容易被查禁。
哲学和科学的学校在希腊各地开始蓬勃发展。
其中最有名的是“学院”（后世学院一词由此而来）。
公元前387年，柏拉图于雅典创办了这个学校。
虽然今天我们把他看作一个哲学家， 但他对数学影响很大。
柏拉图着迷于毕达哥拉斯的世界观
并认为数学是知识的基石。
有些人会说，
柏拉图是希腊数学最有影响力的人物。
他认为，数学是知识的重要形式，
和现实相连接。
因此，通过学习数学，我们能更深入了解现实。
在他的对话《蒂迈欧篇》中，柏拉图提出，
几何是打开宇宙之谜的钥匙， 今天科学家们仍然坚持的观点。
事实上，柏拉图非常重视几何。
在学院门口立了块碑：“不懂几何者不准入内”。
柏拉图提出，宇宙可分为5个对称形状的晶体。
这些形状，我们现在称之为柏拉图体，
即5种正多面体。
正四面体代表“火”。
正二十面体，代表“水”。
稳定的立方体(即正六面体)代表“土”。
正八面体代表“空气”。
第五个柏拉图体，十二面体，
由12个五边形组成，
组成了柏拉图的宇宙观（叫做以太）。
柏拉图的理论影响深远，
并激励数学家和天文学家超过1500年。
除了在学院所取得的突破，
数学的胜利出现在希腊帝国的边缘，
主要归功于埃及及希腊的数学遗产。
公元前3世纪，托勒密王朝（Ptolemies）的统治下， 亚历山大成为学术文化中心，
著名的图书馆很快赢得了声誉， 可以跟柏拉图学院媲美。
亚历山大国王大力推倡艺术、文化，
科技，数学，语法，
因为学术追求的支持
可以显示是一个远见卓识的统治者。
到公元7世纪，埃及被穆斯林征服。
古老的图书馆和宝贵书籍付之一炬，
但它的精神还活在这个新的建筑里。
今天，图书馆仍然是发现和学术研究的地方。
数学家和哲学家涌入亚历山大
出于对知识的渴望和卓越的追求。
该图书馆的赞助人是第一个职业科学家，
有研究经费的个人。
但所有这些早期的先驱者中，
我心目中的英雄是神秘的希腊数学家欧几里得(Euclid)。
我们对欧几里得的生活所知甚少，
但他最大的成就是数学的编年史。
大约公元前300年， 他写了有史以来最重要的教科书
《几何原本》，在《几何原本》中，
我们找到了希腊数学革命的巅峰。
它建立在一系列的数学假设，公理上。
例如，两点确定一条直线。
从这些公理出发，通过逻辑推理建立定理。
《几何原本》包含了计算锥体、圆柱体体积公式，
关于几何级数、完全数和素数的证明。
《几何原本》的高潮是证明了 只有5种柏拉图立体。
对我来说，这个定理说明了数学的力量。
构建5个对称的立方体是一回事，
想出一个滴水不漏的，逻辑论证 为什么不可能有第6个完全是另一回事。
《几何原本》就像一个精彩的， 合乎逻辑的推理小说。
但是这是一个超越时间的故事。
一代又下一代，科学理论被一次又一次推倒重建，
但《几何原本》的定理，今天还是正确的， 正如他们在2000年前。
当你停下来想想，这真的非常了不起。
我们教同样的定理。
我们可以用稍有不同的方式教学， 我们可以用不同的组织，
但欧几里得几何仍然有效，
甚至在高等数学，当你涉及到高维空间，
你还能使用欧氏几何。
亚历山大必须是一个令古代学者振奋的地方，
欧几里得的知名度吸引了更多的 青年知识分子来到埃及港口。
特别喜欢亚历山大学术环境的是 数学家阿基米德(Archimedes)。
他将成为一个数学的高瞻远瞩者。
最伟大的希腊数学家，他们总是挑战极限，
挑战极限。
因此，阿基米德...
做了关于多边形，
立方体的研究。
他后来转移到重心。
接着他转移到螺旋式。
试图对一切数学化的本能在我看来是一个传统。
阿基米德的特长之一是设计大规模杀伤性武器。
公元前212年，罗马人侵略了他在锡拉库扎 (西西里岛东部)的家园，它们被用来对付入侵。
他还设计了一面利用太阳能的镜子，
放火焚烧了罗马的船只。
但对阿基米德，这些发明只不过是 研究几何之余供消遣的玩意。
他有更高的志气。
阿基米德对纯数学着迷， 相信研究数学是因为数学本身，
而不是为了工程， 卑鄙的贸易或追求肮脏的利润。
他在纯数学中最好的研究结果之一
是给出了计算规则图形面积的公式。(穷竭法)
阿基米德的方法是用已经理解的图形来求新图形。
例如，为了计算一个圆的面积，
他先用一个外切三角形， 然后增加三角形边长的一倍，
封闭的形状会越来越接近圆。
事实上，
我们有时把圆称作是一个有无限多边的多边形。
但是，通过估计圆的面积，阿基米德，事实上，
得到了pi的值，数学里最重要的数。
然而，阿基米德在计算体积中更出色。
他找到了一种方法计算球的体积
把它切片，每一片用圆柱体近似。
然后，把所有小片的体积加起来，
就得到球体积的近似值。
但他的天才之处在于如果你切片越薄，
看看会发生什么。
取极限，近似值就变成了精确值。
正是阿基米德对数学的奉献，导致了他的死亡。
当阿基米德正在出神地思考沙盘上的数学问题。
一个刚攻入城的罗马士兵向他喝问，
阿基米德是如此全神贯注于 他的问题以至于他坚持要完成他的定理。
但罗马士兵对阿基米德的问题不感兴趣， 当场就刺死了他。
即使到死，阿基米德对数学的专注仍坚定不移。
到了公元前1世纪中叶，
罗马完全征服希腊帝国。
他们不迷恋数学之美，
更关心数学的实际应用。
这种务实的态度标志着为伟大的 亚历山大图书馆落下帷幕。
但有一个数学家决心保护希腊人的遗产。
希帕蒂娅（Hypatia）是一个例外， 历史上第一个有记载的女数学家，
在虔诚基督教的罗马帝国，她是一个异教徒。
在她那个时代，希帕蒂娅有很高的威望， 非常有影响力。
她有很多学生，很多追随者。
她对亚历山大的政治有影响力。
因此，这种结合...
丰富的知识，极高的威望，
可能使她成为基督教暴徒仇恨的对象。
四旬斋（指复活节前的40天）的一个早晨，
希帕蒂娅从马车上被狂热的 基督教暴徒拽了下来，拖到教堂内。
在那里，她被折磨并残忍地杀害。
希帕蒂娅传奇的一生
为后人所着迷。
可悲的是，她的偶像地位， 使她的数学成就黯然失色。
事实上，她是一个有才气的老师和理论家，
她的死亡给了亚历山大的希腊数学遗产最后一击。
我的旅行给了我一个迷人的旅程，
揭示最早数学家的激情和创新。
埃及、巴比伦和希腊先驱的成就，
构建了我们今天学科的基础。
但是，这只是我数学长途行程的开始。
旅程的下一站是东方，亚洲的深处，
那里的数学家追求知识的规模将达到新的高度。
一个代数和数字语言的新时代来临了，
将在下一章的数学故事里讲述。