我漫步在月球的山脉。
追踪文艺复兴时期的艺术家--- 皮耶罗.德拉.弗朗切斯卡(Piero della Francesca)
因此我来到意大利北部城市, 皮耶罗发迹的地方。
那里是，乌尔比诺(Urbino)。
到了这里， 我欣赏了皮耶罗的一些最优秀的作品，
艺术的杰作，同时也是数学的杰作。
文艺复兴初期(1378-1500)， 艺术家和建筑师的艺术风格,
重新开始使用透视， 这个已失传1000年的技术，
但正确使用它原来比想象的困难得多。
皮耶罗是第一个完全了解透视的主修画家。
因为他即是数学家，也是一个艺术家。
我来这里看他的杰作，
《鞭打基督》，但出现了一个问题。
我刚看到《鞭打基督》， 这是一个令人震撼的画，
但不幸的是，
由于各种原因，我们未被允许进里面拍摄。
但这毕竟是一个数学节目，而不是艺术节目，
所以我用了一点数学把这张画活起来。
我们不能走近画， 但我们可以令画展现在我们面前。
透视指的是
将立体三维空间的形象表现 在二维平面上的绘画方法。
使观看的人对平面的画有立体感，
皮耶罗利用了数学。
如果这一群男人和前台的另外一群有点远，
他要把基督画的多大？
弄错的话，透视的错觉效果就破坏了。
把三维世界准确地表现到一个二维的表面上，
并不显而易见。
三维世界的平行线在二维画面中不再平行，
而是向一个灭点集中，消失在灭点。
这就是瓷砖在画中看起来的样子。
一种新的数学语言出现了，
使我们能够把一个事物映射到另一个事物。
透视的威力给出了一个了解世界的新方式，
透视可能造成数学革命。
皮耶罗的工作是一个理解几何新方式的开端，
但仍需要花另外一个200年，
等其他数学家继续他停止的地方。
我们的旅程转到北方。
到了17世纪，
欧洲已经接替中东，成为数学思想的中心。
时间和空间的几何学方面已取得了大进展。
在法国，德国，荷兰，英国，
现在的竞争是关于如何理解运动中的数学，
新数学的追赶开始于这个位于法国中心的村庄。
只有法国人用数学家命名一个村庄。
想象一下，
英国有一个小镇叫牛顿、鲍尔或凯莱。 根本没有！
但在法国，他们真正尊重数学家。
这里是卢瓦尔河谷(Loire Valley)的笛卡尔村。
以200年前著名的哲学家和数学家重新命名。
笛卡尔(Descartes),1596年在这里出生，
幼年体弱多病，母亲还病故了，所以特许他
可以在床上读书到上午十一点， 他终生保持了这个生活习惯。
做数学，有时你只需要排除一切干扰，
沉浸在形状和模式的世界。
笛卡儿认为，床是最好的地方， 实现“冥思”的状态。
我想我明白他的意思。
笛卡尔睡前进行冥想的房子，
现在成了笛卡儿信徒的博物馆。
跟我来。
展览品由馆长西尔维.卡尼尔(Sylvie Garnier)设计，
展示了他的哲学， 科学和数学思想如何结合在一起。
它还以笛卡儿生活和事业
不为人知的方面为特色。
所以他决定参军...，
在新教军队，
也在天主教军队，对他都没关系，
因为他没有爱国主义。
西尔维说得非常漂亮，
但笛卡尔实际上是一个雇佣兵。
德国的新教，法国的天主教也行，
谁付钱给他，他就为谁卖命。
1628年秋天的一个清晨， 他加入的巴伐利亚军队
在一个寒冷的河岸宿营。
灵感往往在奇怪的地方迸发。
这个故事讲述为何笛卡尔整晚不能入睡，
或许是因为他起床起的晚了，
也许是他为了庆祝圣马丁之夜(St Martin's Eve)喝多了。
问题在他脑中盘旋。
他正在思考他最喜欢的主题--哲学。
他发现这非常令人沮丧。
你怎么能真正知道所有的东西呢？！
然后，他渐渐进入一个梦境...
梦境向他揭示了，
数学是建立哲学不争事实的钥匙。
数，他意识到， 可以抹去不确定性的蜘蛛网。
他希望出版他所有激进的想法，
但又担心不被天主教接受， 所以他收拾行李离开了。
笛卡儿在荷兰安了家。
他一直是新科技革命的倡导者之一
他抛弃了太阳绕地球转的主流观点，
这种看法给梵蒂冈(Vatican)像伽利略(Galileo)
一样的科学家惹了大麻烦。
笛卡尔猜想，这里是信奉新教的荷兰，
他将是安全的，
特别是在莱顿(Leiden，荷兰西部城市)的老大学城，
那里他们尊重数学和科学。
我也来莱顿了。
很可惜，我来晚了！
喂。是啊，不好意思。
自行车爆胎了，耽搁了一点时间，嗯，嗯。
Henk Bos是欧洲最杰出的笛卡尔学者之一。
他并不感到意外，法国学者在莱顿终其一生。
他与人交谈， 思想开放的有些人接受他的理念。
不仅是数学的，特别也包括机械学。
他把代数和几何结合在一起。
正确。这样你就可以在公式和图形之间来回。
就像两者之间有一个字典可以互译？是啊，是啊。
1637年，这本字典终于在荷兰的这个地方出版了，
主要包括有争议的哲学思想，
但最根本的思想在附录中，
建议把代数和几何联系起来。
两维中的每个点，可以表示成两个数，
一个数确定点的横坐标，第二个数确定纵坐标。
当一个点在圆周上移动，坐标相应的改变，
但我们可以写出一个等式，
用于标识图中任何点的数值变化。
突然间，几何变成了代数。
使用几何变为算术的转换，
你可以判断，比如说，
这座桥所构成的曲线是圆的一部分， 抑或别的。
您不必耗费眼力，
相反，曲线的方程就能揭晓秘密。
但它不会停留在此，
笛卡尔曾开启了高维导航几何的可能性，
我们用眼睛永远也看不到的世界，
但却是现代科技和物理学的核心。
毫无疑问，笛卡尔是数学领域的巨人之一。
可惜，他不是最漂亮的男人。
我想他不是随便的人，所以...
他可能...十分注意他的形象。
他对自己是正确的很有自信，
当他错了，
他的第一个反应就是别人太笨了， 所以搞不明白。
笛卡尔可能不是最好相处的人，
但毫无疑问，
他连接代数和几何的洞察力将彻底变革数学。
不过，为了使他的数学变革运转起来，
仍需要另外一个至关重要的因素。
为了找出原因，我不得不与Henk 和莱顿道别，去教堂做礼拜。
我自己不是信徒，但毫无疑问，
笛卡尔时代许多数学家都有
强烈的宗教信仰。
也许这只是一个巧合，
但可能因为数学和宗教都建立在 一个无可争议的公理集上，
一加一等于二，所以上帝存在。
我想，我知道我该信仰那个公理集。
17世纪，
巴黎有一个神父和笛卡尔是中学同学。
他爱数学，同时也爱上帝。
事实上，他认为数学和科学是上帝存在的证据，
马兰.梅森(Marin Mersenne)是一流的数学家。
素数中的发现之一， 仍以他的名字命名。(梅森素数)
但他也因与数学家的通信而闻名。
在他巴黎的修道院，
梅森扮演了17世纪的互联网枢纽， 交流思想的中心。
这和现在差不多。
我们如数学神父般坐着，思考我们的想法，
然后给同事发送邮件，希望得到答复。
欧洲17世纪这种数学交流的精神，
自希腊人以来从未有过。
梅森呼吁人们阅读笛卡尔在几何上的新工作。
他还做了一件同样重要的事。
他为一位不知名的业余数学家宣传， 关于整数性质的一些新发现，
最终此人将和笛卡尔匹敌，
成为那个时代最伟大的数学家--费马(Pierre de Fermat)。
在这里，波蒙.德.罗曼(Beaumont-de-Lomagne) 附近的图卢兹(Toulouse)，
居民和游客都来庆祝
村里最出名儿子的工作。
但是我不太清楚，这些角斗士在这里做什么！
此外，这只骆驼的出现，也有点出人意料。
费马本人也不会赞成
通过开玩笑来提高数学的兴趣。
不同于属于贵族的笛卡尔，
建立一个数学节日， 费马不会认为毫无价值或平常的。
数学在起作用。
它是美丽的，真的很美妙，是的。
费马数学上的最大贡献， 实际上是发明了现代数论。
他想出了一系列的猜测和定理，
其中包括著名的费马大定理
---一个困惑了世间智者350多年的谜，
但现在对我帮助不大。
拆开很容易。
但把它组装起来，是不是，有点困难。
手上共有几片？我有6片。
我想需要把对称性用上去。
我担心他会告诉我怎么做，我不想看。
我讨厌被告知如何做。我不想看。
他在嘲笑我，因为我拼不起来。
这非常不公平！
让我们开始。
我可以把它们拼在一起吗？
我懂了！
现在，那就是做数学的嗡嗡声，
当几片按在一起时，突然有了正确的答案。
值得注意的是，费马只在业余时间研究数学。
白天，他是地方法官。
解决数学问题是他的业余爱好和热情。
数学美妙的地方就在于
什么地方你都可以做。
您不需要实验室。
你甚至不需要图书馆。
费马过去常常在厨房的桌子旁， 当地祈祷的教堂
或在这里他家屋顶上，完成大部分的工作。
他可能看起来像一个业余选手，
但他对待数学非常严肃。
费尔马设法找到数论中的几个新模式，
这些问题曾难倒了几个世纪的数学家。
费马的这些定理中，
我喜欢的是关于素数的。
如果你有一个素数，除以4余1，
那么，费马发现
这个数总是可以写成两个平方数之和。
举例来说，我这里有13瓣大蒜，
13是一个除以4余1的素数，
费尔马证明这个数可以写成两个平方数之和。
所以13等于3的平方加2的平方，
13=4+9。
令人吃惊的是，费马证明了， 对任意大的素数都对，
只要这个素数除以4余1，
总能写成两个平方数之和。
啊，我的天哪！
我喜欢这样的一天，因为数学的游戏性和
费马确实非常喜欢在数字堆里玩耍。
他喜欢在数字中寻找模式，伤脑筋的数学题，
他想证明，这些模式将永远存在。
在未来的岁月里，费马的数学除了是娱乐和游戏的基础，
还有一些非常重要的应用。
他的定理之一，费马小定理，
是密码的基础，用来保护互联网上的信用卡交易。
我们今天的科技都来自于17世纪
一个数学家的胡乱涂鸦。
但是，费马数学的用处， 跟下一个伟大的数学家相比
根本不算什么，他虽然不是来自法国，
但却是最强劲的竞争对手。
17世纪，英国正在成为世界强国。
扩张和野心需要测量和计算的新方法，
这些大大促进了当时的数学。
牛津大学城和剑桥大学
培育出了大量的数学家，
其中最伟大的是艾萨克.牛顿(Isaac Newton)。
这里是格兰瑟姆(Grantham)，艾萨克牛顿长大的地方，
对于牛顿出自这里，他们感到非常自豪。
这里有一个纪念他的精美雕像。
他们甚至把它摆在商业区，
那里有一个漂亮苹果的logo。
那里有一所漂亮的蓝色牌匾的学校，他上过学的，
实际上，市政厅这里有一个博物馆，
这里还有一个著名的居民， 撒切尔夫人(Margaret Thatcher)，
也有一个和牛顿一样大的展厅。
事实上，撒切尔图案的杯子已经卖断货了，
但牛顿的还有大量库存，
所以我想买牛顿的杯子算是支持数学。
牛顿的数学确实需要支持。
牛顿在这里非常有名。 你知道他因什么出名吗？不知道。
不，我不知道。发现了万有引力， 万有引力，是的。万有引力？
苹果树和万有引力。这是对他的主要总结。
人们所知道牛顿的所有工作， 都是他在物理上的，
他的万有引力定律，而不是他的数学。
我很忙！你很忙。行。
加速度，你看？一个牛顿定律！
格兰瑟姆以南8英里，
在沃尔斯索普(Woolsthorpe)， 牛顿出生的村庄，
我遇到了一个人，和我分享数学的热情。
这是房子。
哇，真漂亮。Jackie Stedall是牛顿的一个粉丝，
非常愿意领我参观牛顿小时候的家。
这里是...
你可能把它叫做餐厅。我敢肯定他们不这样叫，
厨房的旁边是他们吃饭的房间。
当然，那里本来应该有个大火炉。
是！天哪，我真希望它现在就在那儿！
他的父亲是一个不识字的农民，
在他去世前不久，牛顿诞生了。
否则，年轻的艾萨克可能有完全不同的命运。
这是他的房间。
啊，可爱，哇。
They present it really nicely. Yes. 他们摆的非常好。是。
给了你一个回到过去的感觉。它做到了，是的。
我可以看到他和我一样不整洁。看看床上的样子。
这让我回想起，今天上午我起床的样子。
牛顿恨他的继父，但却是这个人，
使他成为数学家，而不是放羊娃。
小的时候，我不认为他特别引人注目。
行。因此，所有的孩子都有希望了。是的，是的。
我认为他在学校里属中等水平。
他很少有密友。
我想他不是那种我特别想认识的人，
但我喜欢他的数学。真的很美妙。
1665年，大瘟疫期间，
牛顿从剑桥回到林肯郡(Lincolnshire)， 当时他只有22岁。
奇迹在这里两年发生，他得到了光的新理论，
发现了万有引力定律，
发明了革新数学的方法，微积分(流数术)。
就像这样。
我尽可能快的把这辆车从0加速到60。
里程表显示速度不断变化，
但这只是一个平均速度。
我如何知道瞬时速度是多少呢？
好，看下面。
当汽车沿途行驶，我们可以沿路画一幅曲线图，
每个点的纵坐标表示车到那点需要多长时间。
我可以算出A和B两点之间的平均速度，
等于所走的路程
除以两点之间所花的时间，
但，A点的瞬时速度是多少？
如果我把B点移的离A点越来越接近，
那么所花的时间也越来越少,速度就越来越接近瞬时速度，
但最终，
看起来我必须计算0比0。
微积分帮助我们搞清楚这种计算的含意。
它使我们能够算出旅途中的瞬时速度和精确距离。
我的意思是，它确实讲得通，我们想当然，
诸如此类...如果我扔了这个苹果...
速度随着距离在变化，
微积分能够处理了这一切。
相比之下，
希腊人的几何是非常静态的。
是的，它是。在这里，我们看到...
所以每一个工程师，物理学家都使用微积分，
因为它可以描述动态的世界。
是的，这确实是唯一的方法处理运动或变化的数学。
在这个苹果里有很多数学！
牛顿的微积分，使我们能够真正了解不断变化的世界，
行星的轨道，流体的运动。
通过微积分的威力，我们有了一种用数学的精确性来描述
复杂，不断变化的自然世界的方式。
但还需要200年才能发挥其全部潜力。
牛顿自己决定不发表， 只在朋友之间散布他的想法。
他的名气，逐渐蔓延。
他成为一名教授，下院议员， 然后是皇家造币厂厂长。
这里是伦敦。
在他从皇家铸币厂到皇家学会的路途中，
他喜欢思考神学和炼金术，而不是数学。
发展微积分在他众多兴趣中排在很后面了一个，
直到他听说一个对手...
这个对手也是皇家学会会员，
提出了和他完全相同的想法，
他就是莱布尼兹(Gottfried Leibniz)。
莱布尼茨说的每一句话一直保存在他的家乡汉诺威(Hanover)，
位于德国北部。
他的手稿被严密保管，
特别这手稿表明了莱布尼茨发现微积分的奇迹，
在牛顿之后不久。
他写的时候几岁...
他当时29岁，花了两个月的时间，
他发明了微分和积分。花了两个月？
是啊。飞快地，当它来时，呃...
是啊。
这里有一个小的碎纸片。那是什么呢？
一封信或...这是莱布尼茨的一个短笺原稿。
“有时早晨，躺在床上就产生灵感，
我有很多的想法，以至于花了我整个上午，
有时甚至更长的时间记下这些想法，写到纸上。”
我想，那一定很美。
我想，早上他喜欢躺在床上。
一个真正的数学家。是啊。
他每天在床上思考。
我看你这里有一些画。
画。
这是他的肖像。对。
虽然他没有成为17世纪牛顿那样的名人，
他过的还不错。
莱布尼茨为汉诺威王室工作，
在欧洲各地旅行，代表他们的利益。
这给了他充足的时间沉迷于喜爱的智力消遣，
涉及的领域非常广，
他设计了新教和天主教重新合并 在一起的宏大计划，
制定了征服埃及的计划，
对哲学和逻辑的贡献，今天仍受高度评价。
这些信都是他写的吗？ 是啊。这绝对是非凡的。
他一定克隆了自己。 我不相信莱布尼茨只有一个！
莱布尼茨决不是几句话就能概括的。
他还是发明计算机的第一人，
用2进制的原理工作，计算机真正的先驱。
300年后，汉诺威的莱布尼茨大学工程系
已经根据莱布尼茨的蓝图组装出了这个机器。
我喜欢所有的滚珠，
这些滚珠将代表0和1。因此，一个滚珠代表1。
现在，我们用0和1表示127。
二进制里，这意味着7个1。是啊。
现在我加上1。行。
现在，127加1是128，2的8次。
哦，行。因此，将有许多动作。你能演示一下吗？
这是摇杆。
现在，我们要加1。哎呀。开始了。他们在动。
因此，128是2的8次。
非常好，127表示成二进制是1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,(7个1)，
这是这里所有的滚珠。
再加1个，这一切得到通过，
这正好是0，0，0，0，2的次。
因此，这种机械装置去掉了所有你不需要的滚珠。
象弹球戏，确切的说，是数学弹球戏。
我喜欢这台机器！
经过一天的辛苦工作，莱布尼茨经常来这里，
著名的海恩豪森(Herrenhausen)王家花园，
现在位于汉诺威的中心，当时是城市的郊区。
这里有关于数学和散步的轶事。
我不知道，你在你的办公桌旁工作了整天，
整个上午你的脑袋对一些问题还很模糊，
你只需要来这里走一圈。
你让你的潜意识工作，
有时只是看着树或别的什么， 突然你就能有突破。
我最好的一些想法，出现在公园散步中，
所以我希望能够在这里得到一个启示，
重踏莱布尼茨曾经走过的路。
我没有机会清除我头脑中的数学疑问。
因为自从莱布尼茨在这里居住的几年里，
有人建立了一个迷宫。
嗯，有一个数学公式可以帮助你走出迷宫，
如果你把左手靠在迷宫一面墙壁， 只是手不离开墙壁，
沿着墙壁转几圈，你肯定能出来。
这只是理论上的。让我们来看看是否管用！
莱布尼茨没有这样的消遣。
5年之内，他给出了微积分的细节，
看上去独立于牛顿，
尽管他知道牛顿的工作，
但不像牛顿，莱布尼茨很乐意 把他的工作公布于众，
整个欧洲的数学家首先从他那听到微积分 而不是从牛顿那里，
这就是所有麻烦的开始。
在整个数学史中，优先权的纠纷和争论很多。
这似乎有点小气和幼稚。
我们真的希望我们的名字在定理里出现。
这是我们名留青史的一个机会，
因为定理会永远延续下去， 这就是为什么我们花这么多时间，
试图破解这些问题。
不知怎的，
我们不相信别人可以和我们同时拥有它。
它是我们的定理，我们的宝宝，我们的孩子，
我们不想和别人分享。
回到伦敦后， 牛顿当然不希望与莱布尼茨共享荣誉，
他认为莱布尼茨是汉诺威的暴发户。
经过多年激烈的争论和指责，
伦敦皇家学会被要求在两个竞争对手之间进行裁决。
英国皇家学会认定，
就发表时间而言，牛顿早于莱布尼茨，
就发表时间而言，莱布尼茨则先于牛顿。
但在最后的判决中，他们指责莱布尼茨剽窃。
不过，这也许与报告
出自皇家学会主席--牛顿有点关系。
莱布尼茨受到了巨大的伤害。
他钦佩牛顿，自那以后身体垮了。
他死于1716年。
牛顿又活了11年，死后埋葬在宏伟的
威斯敏斯特教堂(Westminster Abbey 英国名人墓地)。
相比之下，莱布尼茨的纪念碑，
就在汉诺威的这个小教堂。
讽刺的是，莱布尼茨的数学最终取得了巨大的成功，
而不是牛顿的。
我是莱布尼兹的忠实粉丝。
数学的重大变革常常是
创造正确的表达方式来捕捉新的视野，
而这正是莱布尼茨擅长的。
莱布尼茨书写微积分的记号，
抓住了微积分的精髓。
这些符号一直沿用至今。
牛顿的符号，对许多数学家来说， 使用起来即笨拙又难懂，
因此，当英国的数学停滞不前时，
数学故事就转到欧洲的中心，巴塞尔(Basel)。
18世纪的全盛时期，瑞士巴塞尔这个自由城市，
是整个西方世界的商业中心。
围绕着这一行业漩涡，
发展了一个的学习传统，
特别是学习连接商业和整个家庭。
这很神奇 - 艺术家的孩子往往也是艺术家。
音乐家，他们的子女往往是音乐家，但我们数学家，
我们的孩子不容易成为数学家。
我不知道为什么。
至少，我认为，虽然可能会引起争议。
没有人会不同意伟大的数学世家--- 伯努利家族(Bernoullis)。
(注：伯努利家族在数学的地位 尤如巴赫家族在音乐的地位)
18和19世纪，这个家族产生了半打优秀数学家，
英国拥有其中任何一位，我们都将感到自豪。
他们都来自巴塞尔。
您可能认为牛顿和莱布尼茨已经 取得了根本性的突破，
但还需要弟子接受思想，
澄清它，认清它的含义，然后传播它。
伯努利家族最初是商人，
这是他们其中一处住宅。
它现在是巴塞尔大学的一部分
除了一个房间，已经被完全翻新了，
一直保持家庭过去的样子。
纳格尔(Fritz Nagel)博士，伯努利档案的保管人，
答应让我看一下。
如果我们能找到它。不，我们楼层走错了。
楼层走错了，对。右边！
噢，你看。
我们可以拿一个苹果吗？
不，有病的数学家。
最后，我们到了那里。
这就是伯努利家做数学的地方。
我真的只是出于礼貌。
唯一有趣的是一个老炉子。
在伯努利家族里，你最喜欢那位？
我最喜欢约翰 .伯努利I。
他是最聪明的数学家。
也许他哥哥雅各布
是有更深洞察力的数学家，
但约翰却能找到最简洁的解决方案。
两兄弟相处的并不好，但都很崇拜莱布尼茨。
他们与莱布尼茨通信， 支持他与牛顿的盟友对抗，
并把微积分传遍整个欧洲。
莱布尼茨很高兴
发现朋友圈外有两个天才数学家掌握了微积分，
并把它传播到科学界。
对莱布尼茨来说，这是非常重要的， 对数学同样如此。
没有伯努利家族，
微积分将花更长的时间才能成为今天数学的基石。
至少，纳格尔这样认为。
他是伯努利的忠实粉丝。
今晚，他安排我会见了教授丹尼尔.伯努利，
伯努利家族的最新成员，
其著名的名字可确保他收到了一些奇怪的电子邮件。
我收到的其中一封说，
“伯努利教授，微积分你能我帮个忙吗？”
想要找到一个伯努利，希望他们会做微积分。
但是，这个丹尼尔.伯努利是一个地质学教授。
数学基因似乎已经真正绝迹了。
在我们丰盛的晚餐中，
我发觉自己回想到数学。
仅仅作为莱布尼茨的信徒， 来形容伯努利家族有点不公平。
他们的许多伟大数学贡献之一
是发展微积分来解决当今的经典问题。
想象一下，一个球滚下斜坡。
任务是设计一个坡道，
使球从底部滚到底部所需时间最短。
你可能认为直线坡道将是最快的。
也可能象这样一个曲线，
给球充分的下降惯性。
事实上，两个都不是。
微积分表明，它是我们所谓的摆线(旋轮线)，
沿自行车轮胎移动的轨迹。
这是由伯努利应用微积分的结果，
后来演变成众所周知的变分法，
成为莱布尼茨和牛顿数学最有影响的方面之一。
投资者用它来求最大化利润。
工程师们利用它来使能源使用最小化。
设计师将其应用于建设最优化。
如今，它已成为我们现代技术世界的一个关键。
与此同时，餐厅里的事情变得越来越有趣。
这是我的第二个惊喜。
让我介绍欧拉先生。
丹尼尔.伯努利。
欧拉，数学界最响亮的名字之一。
这个莱昂哈德是伯努利的明星学生--
大数学家欧拉的后裔。
我是第九代，
自欧拉I之后，
家中第四个莱昂哈德是数学家，
好。你自己是数学家吗？
其实，我是一个商业分析员。
我不能用我的名字学习数学。
每个人都会希望你证明黎曼猜想！
或许很幸好，
莱昂哈德决定不追随他杰出祖先的足迹。 他已经无愧于他的名字。
我会上船穿越莱茵河，
我感到衣服穿的少了一点。
昨晚与欧拉、伯努利的晚餐变成
为伯努利和欧拉证明的所有定理祝酒，
上帝，他们已经证明了相当多！
再也不会了。
其他乘客给了我不赞成的一瞥。
幸运的是，这只是一个短途旅行。
不象1728年，欧拉开始新生活的旅行。
欧拉可能是约翰.伯努利般的神童，
但在城市里没有给他发展的空间。
如果你的名字不叫伯努利，
那么在巴塞尔，得到数学方面的工作机会不大。
不过，丹尼尔，约翰.伯努利的儿子，
是欧拉的一个挚友
设法让他在自己的大学谋一个职位。
但要得到这份工作将花7个星期，
因为丹尼尔的大学在俄国。
这里虽然不像柏林或巴黎是智力中心，
但圣彼得堡绝非18世纪一样简单。
彼得大帝建立了一个非常欧式的城市。
每一个时髦的城市都有一个科学院。
圣彼得堡科学院现在是一个博物馆。
里面有几个房间，
充满了通常西方公众看不到的荒诞奇物。
但在17世纪30年代，
这座大楼是突破性研究的中心。
这里是欧拉智力活动的家。
我相信，永远也不会比我更满意的人...
在那时，灵感如泉涌-
变分法，
费马数论中的理论在欧拉手中具体化。
不过，他也创造令人难以置信的现代数学，
拓扑和分析。
数学家今天使用的大部分符号都是欧拉创造的，
如e和i。
欧拉还推广使用符号pi。
他甚至把这些数结合在一起，
组成最美丽的一个数学公式，
e^pi*i=-1。
一个数学魔力的惊人壮举。
他的一生，充满了数学魔力。
欧拉把他的技巧应用到非常广泛的领域，
从素数到光学，天文学。
他设计了一个新的度量衡制度，
写了一篇关于力学的教科书， 甚至发展了音乐的新理论。
我认为他是数学的莫扎特(Mozart)。
持同样观点的数学家是尼古拉·瓦维洛夫(Nikolai Vavilov)，
我们会面的房间是
叶卡捷琳娜大帝(Catherine the Great)赠给欧拉的。
从1766年至1783年，欧拉曾在此居住，
包括了他回到圣彼得堡直到死这段时间。
他是俄国科学院院士，
他们最伟大的数学家。
这就是它说。
现在是干吗的？是一所学校。
咱们进去看看？
行。
我不知道尼古拉会不会同意。但是，不入虎穴...'
也许我们应该跟校长说一声。
校长并不介意。
她给我的印象是
很愿意谈谈欧拉。
她身边甚至有几个非常能干的学生。
这两个年轻女士准备为欧拉和这个建筑说几句话。
他们当然知道自己的材料。
他们整个班上了一次关于欧拉的课，
他漫长的一生，幸福的婚姻和13个小孩。
然后是他的悲剧，只有5个孩子活到成年。
他的第一个妻子，他非常喜欢的，英年早逝。
他开始失去大部分视力。
他生命的最后几年，仍然继续工作。
他继续他的数学研究。
我读了缓引，他说，现在失明了，
他仍没有分心，
他能够以积极的态度继续他的数学。
这是一个完全出人意料和令人陶醉的访问。
虽然当其他人离开后，
我忍不住偷偷纠正了黑板上方程的一个错误。
为了演示我最喜欢的欧拉定理之一， 我需要喝一杯。
它涉及计算无限求和，
当它在1735年公布,这个发现把欧拉 推到了流行数学的顶端。
取一小玻璃酒杯装满伏特加，把它倒到这个高杯。
然后，取杯中的四分之一，或二分之一的平方，
把它倒到第一个杯中。
然后，取杯中的九分之一，或三分之一的平方，
再它倒到第一个杯中。
现在，如果我倒入无限多杯，
每一杯的量都是一个分数的平方， 最后高杯中会有多少酒？
这被称为巴塞尔问题，
柏努利曾试过，但解决不了。
丹尼尔.伯努利知道， 你不会得到无限多的伏特加。
他估计，总数大约是一又五分之三。
但欧拉取得了进展。
丹尼尔的答案是近似解，但数学需要精确值。
欧拉计算出伏特加的总量
是pi的平方除以6。
这完全是一个惊喜。
分数平方之和与特殊的pi
究竟是什么关系？
但是，欧拉的分析表明，
它们是同一等式的两边。
一加四分之一加九分之一加十六分之一等等
到无穷等于pi的平方除以6。
还有相当多的伏特加，但就到这里。
欧拉当然是望尘莫及的。
来自两个国家的数学家尝试了。
法国和德国同时投身于革命的时代，
席卷十八世纪后期的欧洲。
虽然都迫切需要数学家。
但他们支持数学的方式完全不同。
这里是法国，
革命强调数学的实用性。
拿破仑意识到，
如果你想要拥有最好的军事装备，最好的武器，
那么你需要最好的数学家。
拿破仑的改革给数学很大的推动力。
但是，这是一个服务社会的数学。
这里是德国，伟大的教育家威廉·冯·洪堡 (Wilhelm von Humboldt)
致力于数学，
但这个数学是与国家和军队的需求分离的。
洪堡的教育改革，评价数学是纯粹的目的。
在法国，他们有大数学家约瑟夫.傅立叶(Joseph Fourier),
他对声波的工作，我们今天仍然受益。
MP3的技术基于傅立叶分析。
但在德国，他们得到了，至少在我看来，
有史以来最伟大的数学家。
古雅和安静，
哥廷根大学城看起来像一潭死水。
但这个小镇曾经是一些数学巨人的家，
其中包括有数学王子美誉的--
卡尔·弗雷德里希·高斯(Carl Friedrich Gauss)。
然而，很少有非数学家，似乎知道他的任何事情。
不在巴黎。
谁叫高斯？
不知道。
不在牛津。
我听说过这个名字，但我说不上来。 不知道。不知道？不。
即使在现代德国，恐怕也不知道。
没有？好的。
我不知道。你不知道？
但在哥廷根，每个人都知道谁是高斯。
他是当地的英雄。
他的父亲是石匠，
而且很可能高斯也会成为其中之一。
但是，他的母亲认识到他天资聪慧，
帮助他受到尽可能最好的教育。
每隔几年的新闻里，你会听到一个新的天才
10岁就通过了A级水平，12岁上了大学，
但没有人能跟高斯比。
12岁时，他被已经评论欧几里得几何。
15岁，他发现了
困惑数学家两千多年的素数新模式。
19岁，他发现了正十七边形尺规作图方法，
在此之前没有人知道。
他早期的成功鼓舞了高斯写日记的习惯。
这里是哥廷根大学，
如果你懂拉丁文，你仍然可以读懂它。
幸运的是，我得到了帮助。
第一册是1796年的。
是否可以拿起它？可以，但要小心。
这的确是图书馆拥有的最珍贵的东西。
是的，我可以相信这一点。他写得很漂亮。
即使不明白它讲什么，
从美学角度看也是很舒服。
我要把它放下了。它非常脆弱。
这本日记证明了，
高斯的一些想法超前当时100年。
以下是一些正弦和积分。完全不同类型的数学。
是的，这是第一次暗示了椭圆函数理论，
这是他伟大的新发明之一。
这里，你看到的东西
本质上是黎曼ζ函数。
哇，天哪！令人印象深刻。
ζ函数已成为目前我们理解所有数的基石--
素数分布的一个重要因素。
日记的某个地方，他说，
我已经有了这个奇妙发现
“顺便提一句，一个儿子今天出生。”
我们看到他考虑的优先事项！
是的，的确！
我想我知道很少有这样的数学家。
我的优先事项，虽然，除了下午是明确的。
我需要另一次散步。
幸运的是，格丁根周围有很好的林地小径。
这对我来说是完美的环境
去思考高斯的更多发现。
高斯的数学，触及数学世界的许多地方，
但我将只选择其中一个，有趣的一个 - 虚数。
16世纪和17世纪，欧洲数学家
想象负1的平方根，赋予它i的符号，
他们不太喜欢它，
但它解决了用任何其他方式不能解的方程。
虚数，帮助我们理解无线电波，
建立桥梁和飞机。
在亚原子世界科学中，
他们甚至是量子物理学的关键。
他们提供了可以看清事物本质的地图。
但是，回到19世纪初，
他们没有地图，没有实数与虚数联系的图片。
这个新数在哪里？
负1的平方根在数轴上没有位置。
已经被正数和负数占满了，
伟大的一步是建立一个数的新方向，
纵轴，
这就是负1的平方根的位置。
高斯不是提出数的两维图像概念的第一人，
但他是第一人，把这一切解释清楚。
他给了人们一个图像，
了解虚数如何工作。
一旦他们开发了这个图像，
巨大的潜力可以真正释放出来。
早上好。一杯咖啡。
高斯的数学给了他经济保障。
他想去那就可以去那，
但他很高兴，在哥廷根安顿下来，度过他的余生。
不幸的是，当他的名气越来越大，
他的性格也开始恶化。
本来他是一个保守，害羞的人，
变得越来越多疑和脾气暴躁。
欧洲许多年轻的数学家认为高斯是神，
他们提交他们的定理，
猜测，甚至一些证明给高斯。
但大多数时候，他不回复，即使回了，
要么说他们错了，
要么说他早就证明了。
他把人家打发走或对别人的工作缺乏兴趣，
有时打击了一些非常有才华的数学家
追求他们的理想。
但有时，高斯也未能跟进自己的见解，
其中包括一个非常重要的见解，
可能改变他那个时代的数学。
哥廷根以外的15公里耸立着所谓的高斯大楼。
哇，很漂亮。
这真是一个美景，是的。
高斯承担了汉诺威政府的很多项目，
包括首先主导对汉诺威的大地测量工作。
这是高斯的选择，做这样的测量？
对于一个数学家， 这听起来像是我想做的最后一件事。
他想这样做。
这样做的主要意图是了解地球的形状。
但他也开始思考
更加革命性的内容---空间的形状。
因此，他想宇宙中可能没有平的东西？
是。如果我们生活在一个弯曲的宇宙中，
任何东西都不会是平的。
这导致了高斯对一个数学主要信条的质疑-
欧几里得几何。
他意识到这种几何，远离普遍性，
依赖于平坦的空间概念。
这并不适用于一个弯曲的宇宙。
但在19世纪初，欧几里得几何被视为上帝赐予的，
高斯不希望自找麻烦。
因此，他从未公布任何东西。
但是，另一位数学家，却没有这样的担心。
在数学中，成为团体的一部分通常对你有帮助，
您可以在那里与其他人探讨想法。
不过，在这样的数学团体里，
有时很难做到，
提出一个完全挑战现状的想法，
突破通常来自其他地方。
做数学可以在一些非常奇怪的地方。
我现在在特兰西瓦尼亚(Transylvania)，
这里相当贴切，因为我在搜寻一个独行侠。
雅诺斯.鲍耶(Janos Bolyai) 度过他一生中大部分时间，
远离数学中心数百英里。
这是我能找到他的唯一画像。
不幸的是，这实际上不是他的。
这是罗马尼亚共产党开始的以讹传讹的照片，
当20世纪60年代，人们对他的理论兴趣以后。
他们无法找到雅诺斯的图片。
因此，他们用别人的头像代替了。
雅诺斯，1802年出生，
是数学老师鲍耶·法尔科斯(Farkas Bolyai)的儿子。
意识到自己的儿子是个数学天才，
于是他写信给他的老朋友高斯，
请求他指导自己的儿子。
令人遗憾的是，高斯拒绝了。
因此，没能成为一个专业的数学家，
雅诺斯参军了。
但数学仍然是他的最爱。
这里也许还有一些鲍耶的气息，
因为他在业余时间进行数学研究。
他开始探索他所谓的假想几何(非欧几何)，
在这样的几何里，三角形的内角和小于180。
令人吃惊的是，假想几何在数学上完全讲得通。
鲍耶的新几何已成为人们熟知的双曲几何。
想象它的最好办法，是把它看成球的一种镜像，
那里的线弯曲着互相背靠在一起。
很难表现它，
因为我们习惯生活在平和直在空间里。
在他特尔古穆列什(Targu Mures)的故乡，
我去寻找有关鲍耶更多的数学创新。
他的记忆在这里肯定是崇敬。
博物馆收集了鲍耶有关的文物，
其中一些可能被认为明显带有特兰西瓦尼亚味道。
它仍然保留了一些头发。
有点可怕。
但这里我最喜欢东西
是鲍耶几何的一个美丽模型。
在这个表面上，从这里到这里的最短距离，
不是一条直线，
而是这条在曲边三角形中的曲线。
最短距离表面定义的三角形，
内角和加起来小于180。
1831年，鲍耶出版了他的工作。
他父亲把副本寄给了他的老朋友--高斯。
高斯立刻回信表示认可，
但是高斯拒绝赞赏小鲍耶，
因为他说赞赏这项工作就等于赞赏我自己。
他十几年前就知道这个结果了。
其实，从高斯另一个朋友的信中，
他说，
“我认为这个年轻的几何学家是头等天才。”
但是高斯从来没有想过要告诉鲍耶。
年轻的鲍耶心灰意冷。
另一个重击接踵而来。
别人也发现了完全相同的想法，
比他早两年就出版了-
俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（Nicholas Lobachevsky）。
从那以后，鲍耶开始颓废。
由于没有得到承认或工作， 他再没有发表任何东西。
最后，他又有点疯了。
1860年，鲍耶默默无闻的去世。
相比之下，高斯在他死后被奉为名人。
一所大学，测量磁感应的单位，
甚至月球陨石坑都以他的名字命名。
在他有生之年，高斯很少支持数学家。
但是，一个例外是哥廷根的另一个数学巨人
波恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann)。
他的父亲是一个牧师
他一生都是虔诚的基督徒。
但是，黎曼长成一个害羞的男孩， 受到结核病的折磨。
他的家人很多，很穷，
小男孩唯一擅长的是数学天赋。
这是他的救星。
许多像黎曼这样的数学家都有非常艰难的童年，
相当孤僻。他们的生活几乎崩溃。
是数学让他们有安全感。
在德国北部小镇吕讷堡(Luneburg)，
黎曼度过了他的早年生活。
这是他当地的学校，19世纪初，
作为洪堡的教育改革的直接产物。
黎曼是它的第一批学生。
校长注意到害羞男孩的数学才能。
让他随意使用学校的图书馆。
这给他开辟了一个全新的世界。
在那里，他发现了一本书，
是法国数学家勒让德(Legendre)的
《数论》。
他的老师问他，你读了多少？
他回答说：“那当然是一本了不起的书， 我已经掌握了全部859页”
这是一个适合黎曼的战略。
因为他成了一个杰出的数学家。
他最有名的数学贡献之一是
1852年关于几何基础的演讲。在演讲中，
黎曼首先描述了几何学的本质
及几何与世界的关系。
然后，他描绘了几何
可能是许多不同种空间的数学，
其中只有一个是我们生活的平坦的欧氏空间。
当时他年仅26岁。
这些被接受了吗？有没有人意识到这个革新呢？
人们实际上没有办法使这些想法具体化。
直到在这之后的50，60年，爱因斯坦发现了。
因此，这是革新的真正起点，
以爱因斯坦的相对论结束。没错。
黎曼的数学改变了我们看待世界的方式。
突然，高维几何出现。
潜力是从笛卡尔开始，
但是黎曼的想象力使它发生。
他开始对多少维不加任何限制。
这是很新的东西，
他思考事情的方式。
象鲍耶一样的人真正思考了新几何，
但只是新的两维几何。
新的两维几何。
然后，黎曼摆脱了二维或三维的所有限制，
开始思考更高维。
这是相当新的。
多维空间在今天成了很多数学的中心。
在几何，数论，数学的其他一些分支，
黎曼的想法仍然是困惑和惊奇的。
但是，1866年，他去世了。
当时只有39岁。
今天，黎曼的数学结果遍地开花。
超空间不再是科幻小说，而是科学事实。
在巴黎，他们甚至设法形象化高维中的样子。
正如文艺复兴时期的艺术家皮耶罗在二维画布上
一个正方形内绘制一个正方形来代表一个立方体。
拉德芳斯(La Defense)的建筑师用在 立方体内部雕刻了立方体的形式，
来表现四维超立方体的阴影。
有了黎曼的工作，
我们最终有了数学眼镜来探索心灵世界。
戴上这些眼镜，需要花一段时间适应，
如果没有这个数学的黄金时代，
从笛卡尔到黎曼，就不会有微积分，
没有量子物理学，没有相对性， 没有们今天使用的技术。
但更重要的是，
他们的数学吹走了蜘蛛网，
使我们看到真实的世界--
比我们想像更陌生的世界。