数学是解决问题的科学，
悬而未决的大问题是数学发展的源泉。
1900年夏天,
国际数学家大会（简称ICM）
在巴黎索邦神学院(巴黎大学的前身) 举行了,
这是一个大事件，
不是由于8月湿热难耐的高温，
而是作为有史以来最伟大的数学大会载入史册，
归功于大卫.希尔伯特（David Hilbert） 前瞻性的演讲。
希尔伯特，一位年轻的德国数学家，
大胆提出了新世纪数学家
应当努力解决的23个最重要的数学问题。
他成功的制定了20世纪数学研究的蓝图，
这些希尔伯特问题定义了现代数学。
试图攻克希尔伯特问题的那些人， 有些将体验巨大的成就感，
而另一些则将陷入无限的绝望之中。
希尔伯特的第一个问题 (康托的连续统问题)出现在这里，
东德的哈勒市(Halle),
伟大的数学家康托（Georg Cantor） 在那里度过了一生，
并成为第一个真正理解无穷含义
并给出精确数学概念。
但市中心广场的雕像，却是
哈勒的另一个荣誉之子， 作曲家乔治.汉德尔(George Handel)。
想要了解康托更多的故事， 需要乘电车到乡下去。
50年来，哈勒是共产主义东德的一部分，
共产党喜欢歌颂他们的科学家。
正因如此，他们把康托的雕像 放在一个大立方体的一面。
但作为共产党员，
他们没有把立方体摆在市中心， 却放在郊外。
当我终于找到地方时，我开始担心，
我是不是搞错位置了。
看起来一点也不象是给数学家列雕像的地方。
打搅了？
（德语）一个问题.
你能帮我个忙吗？ （德语）对不起？你会说英语？不！不会？
（德语）我在找一个立方体。
（德语）立方体，是吗？
是吗？一个"Wurfel"？
立方体？啊？象这样大小？
（德语）数学家的雕塑？
啊？那边吗？
（德语）名字是康托尔。
这里的某个地方。啊！就是这里！
它比我想象中大得多的。
还以为是这样大小的东西。
啊哈，我们到了。在立方体的侧面。
这里是人名，康托尔。
康托尔是我心中真正的大英雄.
我想，如果必须选择排名前十的定理，
我认为
康托的证明将在其中之列。
这是因为在康托之前，
没有一个人真正理解无穷。
这是一个棘手的，含糊的抽象概念。
但康托尔表明，无穷完全可以被理解。
事实上，不光只有一个无穷，
而是有无限多个无穷。
康托首先取了自然数集合1，2，3，4，等等。
然后与子集进行比较...
类似10，20，30，40 ...
他表明这两个无限集合都有相同的级别 （“势”或“基数”）
因为我们可以将它们一一对应
1和10，2和20 ，3和30等等。
因此，这两个无限集合有相同的级别。
但分数（即有理数）怎么样呢？
毕竟，任何两个整数之间有无穷多个分数。
显然，
分数集的级别远远大于整数集。
那么，康托所做的是找到一种对应法则,
使两集合元素一一对应.
来看看康托构造的对角线法是怎么回事。
他把全部分数按二维阵式排列如下。
第一行是整数，即分母为1的分数。
在第二行是整数的一半， 即分母为2的分数。等等。
这样，任意一个分数必定在二维阵式里。
2/3在哪里？第三行，第二列。
现在沿对角线蛇形穿过分数。
把这条线拉直，我们就建立了 整数和分数的一个一一对应。
这意味着分数集和整数集级别是一样的。
因此，也许所有的无穷都有相同的级别。
嗯，真正令人激动的是，
康托尔考虑十进小数（或实数）的集合。
这里，他证明了这个集合 是一个更大级别的无穷，
因为无论你怎么排这些小数，
康托都可以构造一个
在你的列表里没有的，新的十进制小数，
突然，无穷的思想解放了。
存在不同级别的无穷， 无穷可以比较大小了。
这真是一个激动人心的时刻。
对我来说，这就像知道如何计数的第一人。
只是，现在我们以不同的方式“数”。 我们在“数”无穷。
大门已经打开， 一个全新的数学摆在我们面前。
但这些没能给予康托更多的帮助。
在哈雷,他墓地的安葬地，
我准备会见乔.道本（Joe Dauben）教授。
他热衷于在康托尔的数学和他的生活之间建立联系。
他患有狂躁抑郁症。
他第一次大崩溃发生在1884年，
世纪交替的时期，
精神病复发的次数
越来越频繁。
许多人曾试图说明，他的精神病是由
他处理的不可思议的抽象数学触发的
那么，他无疑是挣扎的， 所以可能有一定联系。
是啊，我的意思是我必须说， 当你开始仔细思考无限...
与无限的底端在一起，我感到很高兴，
但当你构造的越来越高时，
我必须说
我对正在发生的事情开始感到有点失去信心。
康托生命中的大部分时间
都在大学的疗养院度过。
由于当时没有治疗方法，躁狂抑郁症
或妄想狂经常伴随康托不时发作，
然而，诊所是一个好地方 -
舒适，宁静与和平。
在这里的时间，给了他精神力量
恢复他的无穷探索。
其他数学家被康托创造的悖论所困扰。
奇怪的是，康托却并不担心。
他从来没有象别人一样被无穷悖论所困扰，
康托相信
我能够展示某些事情，
我们可以建立完整的数学确定性，
绝对无穷即上帝。
他能理解这一切，
最终的悖论不是留给我们理解的，而是上帝。
但有一个问题，
康托不能留给万能上帝之手，
他的余生纠结于这个问题。
它被称为连续统假设。
是否存在一个无穷集合，
它的势比自然数集的势大，比连续统势小？
康托的工作在他同时代的人不受欢迎，
但一个法国数学家替他说话，
主张康托关于无穷的新数学
是“病态美”。
幸运的是，这句话出自那个时代的领袖数学家。
当一位法国政治家问伯特兰.罗素， 法国现代产生的最伟大的人物是谁？
罗素立刻答道：“庞加莱”。
政治家感到惊讶，选择是总理 雷蒙.庞加莱（Raymond Poincare），
而不是拿破仑（Napoleon）， 巴尔扎克（Balzac，法国小说家)。
罗素明白了那人惊愕的原因时， 他解释说：“我想到的是雷蒙的堂兄弟
“数学家亨利.庞加莱(Henri Poincare)”
亨利.庞加莱一生的大部分时间一直住在巴黎---
一个城市，甚至连不定的气候他也喜欢。
在19世纪最后几十年，巴黎是
世界数学的中心， 而庞加莱成为法国数学的统治者。
代数，几何，分析，他样样精通。
他的工作导致了各种应用，
从地下找路
到预测天气的新方法。
庞加莱在每天同样时间工作。
早上工作两个小时，
傍晚时分工作两小时。
期间的这段时间，
他将让潜意识工作。
他记下突发灵感火花的那一刻，
就像踏上汽车踏板的那一瞬间。
一个这样的灵感火花导致早期的成功。
1885年，瑞典国王 奥斯卡二世（King Oscar II）和挪威
提供了2500克朗
征求太阳系的稳定性问题解答。
如果太阳系“两体问题”(n＝2)， 牛顿已经完满地解决了，它们的轨道是稳定的。
这两个天体在各自的椭圆轨道运行。
但是当你加到三个天体，像地球， 月亮和太阳(“三体问题”)，
它们的轨道是否稳定甚至难倒伟大的牛顿。
问题是，现在你有18个变量，
每个天体自身的坐标
和每个方向上的速度。
因此，方程变得很难解答。
但庞加莱取得了重大进展。
庞加莱利用逐次近似计算轨迹法简化问题，
他相信最终结果完全不受影响。
虽然他没有成功给出一个完整的解答，
他的工作令人印象深刻，因而此奖非他莫属。
他开发出了这种伟大技巧的武器库，
数学技巧
试图解决这个问题，
事实上，由于他的技巧，
最终比解决问题赢得更多的奖赏。
但是，当彭加莱的论文刚准备出版，
国王的科学顾问--米塔格-夫勒---一个编辑，
发现了一个问题。
彭加莱意识到他犯了一个错误。
与他原本的想法相反， 初始状态有一个小的扰动，
对后来的状态可能会有极大不同的轨迹。
他的简化变得无效了。
但结果甚至更为重要。
庞加莱的发现间接导致了 我们现在所谓的混沌理论。
混沌现象的一个著名表述就是蝴蝶效应。
在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打
能在美国得克萨斯州
产生一个龙卷风。
因此，20世纪的混沌大课题，
实际上来自庞加莱犯的一个错，
而且是他在紧要关头发现的。
是的！论文本已按原来的形式公布，
并准备发行，米塔格-夫勒把 拷贝也分发给了不同的人，
令他讨厌的是，庞加莱写信给他说，“住手！”
噢，天哪。这是每一个数学家的恶梦。
“尽快地跑！”
不要出版！
坦白地承认自己的错误，
反而提高庞加莱的声誉。
他一生中作了范围广泛的原创性工作。
不只是专业的东西。
他还写通俗读物，赞美数学的重要性。
在这里，这里有《未来的数学》的一个章节。
开篇语：“如果我们想要预见数学的未来，
适当的途径是研究这门科学的历史和现状”
因此，我想庞加莱可能 赞同我揭示数学故事的旅程。
他一定会赞成到下一个目的地。
揭示庞加莱对现代数学最重要的贡献，
我需要寻找一座桥。
事实上是七座桥。
哥尼斯堡（Konigsberg）的七座桥。
今天该城市以加里宁格勒（Kaliningrad）出名，
波罗的海海岸的俄罗斯海港城市， 被波兰和立陶宛环绕，
1945年，割让给苏联以前，
叫伟大的普鲁士城市--哥尼斯堡。
老镇的大部分不幸已被拆毁。
现在根本没有原先的7桥中2座的迹象，
有些也已经变得面目全非。
这是原来的桥之一。
这看起来不像数学故事开始的背景， 请忍耐一下。
柯尼斯堡七桥问题， 18世纪著名古典数学问题之一。
怎样才能一次走遍七座桥， 每座桥只走过一次，最后回到出发点？
寻找解决办法比看起来困难得多。
最终，伟大的数学家欧拉 （Leonhard Euler）解决了，
1735年，他证明了，这种走法是不可能的。
根本就不存在一条路线， 不重复走遍哥尼斯堡的七座桥。
概念性飞跃解决了这个问题。
他意识到，桥梁之间距离是无关的。
真正重要的是桥梁如何连接在一起..
这是一个新的数学分支， 属于几何学的范畴--拓扑学的问题。
我们中的许多人每天都在使用拓扑。
实际上，
世界各地的地铁地图都依据拓扑原则绘制。
你不必在乎任意两个车站相距多远，
它们如何连接的才是重要的。
加里宁格勒没有地铁，
最近的在俄罗斯的另外城市-- 圣彼得堡（St Petersburg）。
在这个地图上解释拓扑非常容易。
我俄语不懂。
你能告诉我...？有事吗？
我想知道这是什么站。
我甚至把它倒过来了！
虽然哥尼斯堡七桥是拓扑学的先声，
却在庞加莱的手里发展成一门
研究几何形体内禀特质的学科。
拓扑学通俗地叫做"橡皮几何学"。
因为在拓扑学里，只要不切割，
能把其中一个变形成另外一个，就认为是等同。
如足球和橄榄球是等同的，
因为他们可以变形成另一个。
马克杯和甜甜圈，也是如此。
从拓扑的观点看， 甚至非常复杂的形状能变得非常简单。
但无论如何， 你是没有办法把甜甜圈变成球，
中间的洞使他们在拓扑意义是不同的。
庞加莱知道所有可能的二维拓扑表面。
但在1904年，他想出了一个拓扑难题，
连他也无法解决。
如果你有了一个平面的二维宇宙，
庞加莱计算出所有可能卷成的形状。
可能是球或有一个、两个或更多洞的甜甜圈，
但是，我们生活在一个三维空间里， 我们的宇宙可以有哪些可能卷成的形状？
这个问题被称为庞加莱猜想。
2002年，在圣彼得堡，
由俄罗斯数学奇才格里戈里·佩雷尔曼 （Grisha Perelman）最终证明。
他的证明，即使数学家也很难理解。
佩雷尔曼通过联系一个 完全不同的数学领域解决了问题。
为了理解形状，动力学代替流形的看法，
导致描述
三维空间可以被包藏于更高维的所有可能方式。
我想知道， 是否他本人能够帮助说明复杂的证明，
但有人告诉我， 找到佩雷尔曼和理解证明一样难。
一个典型的刻板数学家就 象一个疯狂的古怪科学家，
但我认为这有点不公平。
我的同事大部分都很正常，通情达理。
但，当提到佩雷尔曼，
毫无疑问，他是一个非常奇怪的人物。
他收到了来自
西方著名大学的教授娉书及奖金。
但他都拒绝了。
最近，他似乎已经完全放弃了数学，
和他妈妈一起隐居在一个小区里。
他拒绝与媒体对话， 但我想他可能会同作为数学家的我聊聊。
我错了。
嗯，这很有趣。我想他确实关了电话。
也许太多的媒体一直烦他。
我尝试了邻居，按门铃，但他根本没有门铃。
我想他的论文，他的数学已经不说自明了。
我真的并不需要遇见数学家，
在这个“老大哥”和“高薪”的时代，
我想他有一些高尚的品质，
证明了定理，却没有接受菲尔兹奖。
一位数学家一定会鼓掌。
对解决23个问题中任何一个，
大卫.希尔伯特没有提供奖金或奖励， 只有其他数学家的钦佩。
当他在1900年的巴黎概述问题时，
希尔伯特本人已经是一个数学明星。
在德国北部的哥廷根，他绝对出众。
他是他这个年代最有魅力的数学家。
很明显，认识他的人都认为他绝对令人赞叹。
他研究数论，把不同的数学相合在一起，
然后一年左右，
他彻底变革了积分方程理论。
总是变化，总有新的东西，
几乎没有谁能象希尔伯特一样...
如此灵活，如此多变的方法。
今天，他的工作仍被谈论， 他的名字在许多数学术语中出现。
数学家仍在使用希尔伯特空间， 希尔伯特分类，
希尔伯特不等式和几个希尔伯特定理。
他早期关于方程的工作
标志着他是一个新思维方式的数学家。
希尔伯特表示，虽然有无限多个方程，
但有办法把他们分开，增建出一个有限集，
像一套积木。
希尔伯特证明中最令人震惊的是：
只能证明存在性， 不能实际构造这个有限集。
有人批评“这不是数学，这是神学”，
但这一点上，他们错了。
希尔伯特所做的是创建一个新的数学样式，
一个更抽象的解决方法。
即使你不能确却构造它，
你仍然能证明存在性。
就好象说：“我知道从哥廷根到圣彼得堡有条路”
纵然我不能告诉你
如何真正到达那里。”
除挑战数学的正统观念之外，
希尔伯特还高兴地打破当时 在德国大学里的等级制度。
其他教授们很吃惊地看到， 希尔伯特与他的学生一起骑自行车、喝酒。
他很喜欢聚会。是的。
是的。派对狂人。和我一类的数学家。
他很喜欢和年轻妇女跳舞。 他也很喜欢打情骂俏。
真的吗？我所知道的 大多数数学家都不是调情专家。
然而，这种生活方式与数学密切合作。
希尔伯特就是这样一个人，
认为每个人都具有数学技能，
企鹅，女人，男人，黑人、白人、黄种人，
没关系，他应该做数学，
他也应该为他的工作被佩服。
数学有自己的语言。
不要紧...即使你是一只企鹅。
是啊，如果你能证明黎曼假设，我们也不介意。
是的，数学对他来说是一种世界语言。
希尔伯特相信，
这个语言的威力足以解开数学所有的真理，
1930年9月8日，他接受电台采访，
"关于数学的未来"中，他论述一种信念，
其中，他确信所有23个问题很快就能得到解决，
数学最终
建立在不可动摇的逻辑基础之上。
他宣称，绝对没有无法解决的问题。
这个自古希腊人以来，
数学家们都坚定的信念。
他动人的演讲以“我们必须知道， 我们必将知道。”结尾。
（德语）“我们必须知道，我们必将知道。”
不幸的是，
在广播科学演讲的前几天，
另一数学家将粉碎希尔伯特的梦想，
并把不确定性放到数学的心脏。
粉碎希尔伯特的信念
是奥地利数学家，库尔特.哥德尔 （Kurt Godel）。
而这一切从这里开始 - 维也纳。
即使是他的崇拜者，也有很多，
承认哥德尔是有点古怪。
童年时，他是一个聪明，多病，古怪的男孩。
他忍不住问问题。
正因如此，他的家人称他（Herr Warum） 为什么先生。
20世纪20和30年代，
在奥匈帝国垮台和被纳粹吞并这段时间，
哥德尔住在维也纳。
在这个城市里，这是一段奇怪的， 混乱的，激动人心的时间。
哥德尔在维也纳大学学习数学
但他在咖啡馆度过了他的大部分时间，
他们那个时代的“互联网聊天室”，
到处都是西洋双陆棋和台球游戏，
真正的智力激发正在发生。
尤其在很有影响力哲学家和科学家的群体里，
所谓的维也纳小组。
在讨论中，
哥德尔提出了一个将彻底革新数学的想法。
他会为自己定下了复杂的数学测试。
他想解决希尔伯特的第二个问题，
试图找到所有数学的逻辑基础。
但连他都感到惊讶，
事与愿违，他在数理逻辑的所有努力，
并没有给希尔伯特的信仰增加证据， 相反事实开始与信仰背离。
明白了。
这就是所谓的不完备定理。
哥德尔证明，在任何数学逻辑系统里，
存在关于数的陈述是对的，
但你却不能证明它。
他开始他的发言，“此命题是不可证明的”
这还不是一个数学陈命题。
但是，使用了一个基于素数的巧妙编码，
哥德尔将它转化为纯算术命题。
现在，这个命题不是真的就是假的。
当我们探索可能性时你要坚持用逻辑推理。
假设命题是假的，说明命题可以被证明，
这样将推出命题是真的，最后导致与假设矛盾。
因此，该命题必定是真的。
换句话说，存在一个数学命题是真的，
却证明不了。
爆炸。
哥德尔的证明导致了第三次数学危机。
如果你在试图证明哥德巴赫猜想，
或黎曼猜想，结果可能是真的，却无法证明？
这也导致了哥德尔的危机。
1934年的秋天，他第一次由于精神问题
在疗养院度过了一段时间。
他爱上了一个迷人的女人。
阿德勒.宁博斯基(Adele Nimbursky) 是当地一家夜总会的舞女，
她使哥德尔恢复过来了。
有一天，她和哥德尔走在大街上，
突然遭到一帮纳粹党徒的攻击。
虽然哥德尔本人不是犹太人， 但在维也纳小组里，他的许多朋友却是。
阿黛勒把他救了。
但是，对哥德尔和数学而言， 这只是一个缓刑。
在奥地利和德国，数学即将死亡。
30年代后期，在新的德意志帝国
没有色彩缤纷的气球，
只有纳粹的十字记号党旗飘扬在大学上空。
纳粹通过一项法律，
允许不属于雅利安人的文职人员移民。
那时和现在，德国的大学教师都是文职人员。
数学家的遭遇更可怜。
德国，144人丢了工作。
14人被迫自杀或死于集中营。
不过，有个杰出的数学家留了下来。
大卫.希尔伯特帮助安排
他的几个聪明学生逃离。
由于解雇他的犹太同事，
他大胆进言。
但很快，他也变得沉默。
目前尚不清楚他为什么自己不逃走
或至少多一点抗议。
他病倒了，即将生命终结，
所以也许没有足够的精力。
他周围所有的人，数学家和科学家
纷纷逃离纳粹政权，直剩希尔伯特
见证有史以来最伟大的数学中心之一的毁灭。
1943年,大卫.希尔伯特去世了。
只有10个著名数学家
出席了他的葬礼。
欧洲的主导地位，
500年世界数学的中心，结束了。
数学的接力棒是时候交给新大陆了。
事实上，就在这里。
1930年，美国高等研究院已经在普林斯顿大学建立。
理念是在新泽西（New Jersey）的小镇，
重现欧洲大学的学院氛围。
但要做到这一点，必需引进最顶尖的科学家，
不需要到很远的地方找。
许多聪明的欧洲数学家
从纳粹逃离到美国。
像德国数学巨星赫尔曼.外尔(Hermann Weyl)，
他的研究对理论物理有重大意义。
还有，“计算机之父”约翰.冯诺伊曼 (John Von Neumann),
发展了博弈论,还是计算机科学的开拓者之一。
该研究所迅速成为完美的地方
创建另一个哥廷根。
尤其，一个数学家有了象家一样舒适的环境。
每天早上，哥德尔，
身穿白色亚麻西服，戴着一个浅顶软呢帽，
从家里沿默谢雨街（Mercer Street）步行到研究所。
途中，他将在112号房间停下来，
去接他最亲密的朋友，另一欧洲流亡， 阿尔伯特.爱因斯坦(Albert Einstein)。
但舒适、富裕的普林斯顿并没能帮助哥德尔
最后逃脱他自己的魔鬼。
爱因斯坦总是很开朗。
他把普林斯顿大学描述为“放逐的天堂”。
但更年轻的哥德尔变得越来越严肃和悲观。
这种悲观情绪慢慢变成偏执狂。
在普林斯顿大学，他和其它数学家交流越来越少。
相反，他更愿意来这里的沙滩，贴近海洋，
独自行走，思考德国伟大数学家莱布尼茨的工作。
当哥德尔撤回到自己的内心世界，
他对美国数学的影响出乎意料的
日益强大。
一位年轻数学家,刚刚沿着新泽西海岸
渴望承担起哥德尔提出的一些艰巨任务。
20世纪50年代的美国，
大多数青少年对数学没兴趣。
在这个富裕新大陆，他们追求更加轻松， 享乐的生活方式。
冰淇淋和甜甜圈。
只有一个少年
没有沉浸于美国青少年的典型追求中，
反而选择试图解决数学中的一些重大问题。
在很小的时候，
保罗.科恩（Paul Cohen） 就是数学竞赛和奖金得主。
但他发现，很难成为第一个发现数学新大陆，
在那里可以真正留下他的标记...
直到他阅读有关康托尔的连续统假设。
这个问题我早在哈雷就提到过，
康托尔解决不了。
是否存在一个无穷集合，
它的势比自然数集的势大，比连续统势小？
听起来很简单，但自从1900年，希尔伯特
把他作为第一个问题提出以来， 它粉碎了一切努力。
带着青年人的自负，
22岁的保罗.科恩坚定，他可以做到。
一年以后，科恩带着非凡的发现回来了，
下面两种说法都对。
有一个数学系统里，
连续统假设可以假定是正确的。
即：整数与无限小数集之间不存在这样的集合。
但是，在另一个同样一致的数学系统里
连续统假设可以假定是错误的。
在这里，在整数与无限小数集之间存在一个集合。
这是一个令人难以置信的大胆答案。
科恩的证明似乎是对的，
但他的方法非常新颖，没有人有绝对的把握。
大家只信一个人的观点。
有很多的怀疑论，使他不得不来这里一游，
拜访研究院的哥德尔，
哥德尔以特殊方式
投了赞成票。
他说：“把你的论文给我”，然后在星期一，
他将它放回盒中说“是的，这是正确的。”
然后，一切都变了。
今天，数学家加入声明
说明结果是否对连续统假设而定。
我们已经建立了两个不同的数学世界
其中一个回答是对的，另一个是错的。
保罗.科恩真的震撼了数学界。
名气，财富，奖品接踵而来。
六十年代早期的成功之后，他很少发表论文。
但他绝对非同凡响。
我无法想象还有更好的人可以学习，他非常好学，
什么都教，他知道的，甚至不知道的。
自从解决了希尔伯特第一问题，信心大增，
1960年中期，科恩静下心来
尝试希尔伯特问题中最重要的一个 -
第八个，黎曼假设。
40年后的2007年，当他在加州逝世， 仍在不断努力。
但就像他之前的许多著名数学家，
黎曼击败了他。
但他的做法启发其他人朝着证明前进，
其中包括一个他最著名的学生， 彼得.萨纳克（Peter Sarnak）。
我想，总体而言，非常喜欢这个家伙。
他是我的灵感。
我很高兴能与他共事。
他给我指出正确的想法。
保罗.科恩是美国梦成功的典型。
第二代犹太移民
成为美国顶尖教授。
但我不会说他的数学是美国的特别产物。
科恩会勃然大怒于
他可能与周围环境有裂缝这个问题。
相比之下，保罗.科恩过得很舒服了。
但在20世纪60年代， 另一位伟大的美国数学家在追求学术的过程中
遇到了更多坎坷。
尤其是因为她是女性。
在数学故事里， 几乎所有真正伟大的数学家清一色都是男性。
但也有少数例外。
俄罗斯数学家柯瓦列夫斯卡娅.索非亚 （Sofia Kovalevskaya），
1889年，在斯德哥尔摩(瑞典首都) 成为历史上第一位女数学教授，
并赢得了一个非常有名望的法国数学奖。
还有埃米.诺特（Emmy Noether）， 天才的代数学家，
从纳粹逃到美国， 在她充分展示自己的潜力前去世了。
还有一个女人，要到美国才能了解。
朱莉娅.罗宾逊（Julia Robinson）
有史以来第一位女性当选美国数学学会 （AMS）会长，
1919年，她出生于圣路易斯(St Louis)市，
在她2岁时，她母亲就去世了。
她和她的妹妹康斯坦斯搬到祖母的小村落一起生活，
在亚利桑那州的凤凰城（菲尼克斯）， 离沙漠不远。
朱丽亚.罗宾逊在这周围长大。
我有一张她20世纪30年代小屋的照片，
周围什么都没有。
照片上的山和那边很相似。
所以我想她可能住在哪儿。
朱莉娅长成一个害羞的，多病的女孩，
七岁时，因为猩红热在床上躺了一年。
她的整个童年身体一直欠佳。
她被告知，她活不到40岁。
但是，从一开始，她有天生的数学能力。
在亚利桑那州的本地仙人掌下，
她玩卵石计数消磨时光。
这种早期的研究模式给她
热爱数字的感觉，并将持续她的一生。
但是，尽管显露了早慧，
她不得不频繁的抗争， 只为被允许继续在学校和大学做数学。
作为一个少年，她是数学班里唯一的女孩，
但是很少得到鼓励。
年轻的朱莉娅在其他地方寻求智力鼓舞。
朱莉娅喜欢收听“大学探索者”
和53集关于数学的电台节目。
播音员描述了他是如何发现
数学家是最有趣的，振奋人心的生物，
尽管他们有深奥的语言和隐居的天性。
第一次，朱莉娅发现不光有数学教师，
还有数学家存在。
那里有一个数学世界，
她想成为其中的一员。
旧金山附近的加州大学伯克利分校
敞开了数学世界的大门。
能到伯克利深造使她着迷。
她向往有数学家的地方。
伯克利当然有数学家，
包括数论学家拉斐尔.罗宾逊(Raphael Robinson)。
通过经常在校园周围散步，
他们发现，他们的激情不仅仅在数学， 1952年，他们结婚了。
朱莉娅获得博士学位，
开始涉足研究希尔伯特第十问题。
并将成为她一生的工作 。
她一直沉醉于思考这个问题。
她对我说，她无法忍受 在不知道答案的情况下离开人世。
它已成为困扰。
自1900年，希尔伯特首次提出以来，
第十问题同样也是许多数学家的困扰。
他的第十问题就是不定方程的可解答性。
（对于任意的整系数不定方程， 要求给出一个可行的方法，可以判定有无整数解）
没有人能够解决这个问题。
事实上，越来越多相信
根本不存在这样的通用方法。
你究竟怎么才能证明，
不管你多少聪明， 你也永远不会想出一个方法？
在同事的帮助下，
朱莉娅提出了所谓的罗宾逊猜想。
要证明这种方法不存在。
只要你能构造一个方程，
它的解是一个特定数集。
数集必须指数增长，就像取2的乘方，
然而在希尔伯特问题的核心，
仍然被方程占领着。
尽可能的尝试，罗宾逊却始终无法找到这个集合。
第十个问题的最终解决，
需要加入一些新的灵感。
这是来自5000英里外的 俄罗斯圣彼得堡(St Petersburg)
从18世纪，自从伟大的欧拉在这里开业到现在。
该城市以数学和数学家而闻名。
在这里，斯特克洛夫研究所
几个世界上最聪明的数学家
已开始了他们的定理和猜想。
今天早上，其中一个要作一场罕见的研讨会。
即使你会说俄语，这也并非易事，
不幸的是我也不懂俄语。
但是，在最后关头前，我们可以中场休息。
研讨会有一种惯例。
三分之一每个人都能听懂， 另外三分之一是为专家的，
而最后三分之一只为讲演者。
我想这就是我们将要听的最后三分之一。
讲演者是尤里马蒂亚塞维奇 （Yuri Matiyasevich），
他正在解释他最近的工作 - 还用问吗？- 黎曼假设。
1965年，作为一个年轻聪明的研究生，
导师建议他尝试另一个希尔伯特问题，
实际上朱莉娅.罗宾逊曾研究的。
希尔伯特第十问题。
这是冷战的顶点。
也许马蒂亚塞维奇能够代表俄罗斯胜出，
而朱莉娅和她的美国同胞数学家战败。
起初我不喜欢他们的方法。哦，对。
对我来说，证明看上去很奇怪也很不自然，
但一段时间后，我理解了，陈述很自然，
后来我明白了，她有一条非常巧妙的思路，
我只需进一步发展它。
1970年1月，他发现了最后一块关键的拼图。
他看到了如何利用希尔伯特的问题的核心方程
取得著名的斐波纳契数列。
在朱莉娅和她同事工作的基础之上，
他一举解决了希尔伯特第十问题。
当时他刚刚22岁。
他想告诉的第一个人是他非常感谢的女人。
我没收到回信
我想一定在邮寄中丢失了。
这是很自然的，因为它是苏维埃时代。
但朱莉娅回到加州后， 通过小道消息听到传闻，
这一问题已经解决。
她亲自联系了马蒂亚塞维奇。
她说：“让我特别高兴得是，
当我想到我最初提出那个猜想的时候，
你还是个孩子，而我不得不等待你的长大。
然后，他感谢她
并说， 荣誉不光是他的，她也有份。
尤里：一年后，我遇到朱莉娅。
在布加勒斯特(罗马尼亚的首都). 我提意会议之后
朱莉娅和她的丈夫到列宁格勒拜访我。
朱莉娅和尤里一起致力于其他几个数学问题，
直到1985年，她死前不久。
她去世时才55岁。
她能找到新方法。
而许多数学家只能把已知方法结合起来解决新问题，
她是真正创新的。
虽然朱莉娅.罗宾逊表明，
没有通用方法解决所有整数方程，
但是数学家仍在煞有兴趣的寻找
解决特殊类型方程的方法。
19世纪初的法国，
数学历史上最非凡的故事之一，
开创的方法用来
理解为什么有些方程有解而另一些却没有。
这是1832年5月29日，巴黎的凌晨。
伽罗瓦卷入了一场他所谓的“爱情与荣誉”的决斗。
在波旁王朝国王查理十世的反动统治下，
像许多愤怒的巴黎年轻人一样，
伽罗瓦是共和革命者。
mathematics. 不同于其他同志，他还有一个爱好--数学
他刚刚关了4个月的监禁。
然后，在一个单相思的神秘英雄故事里，
他面临决斗的挑战。
前一天他整晚都没睡，
精炼他开发的数学新语言。
伽罗瓦认为，数学不应该只研究数量和形状， 还有结构的研究。
也许他脑子里还在思考他的数学。
当天上午只开了一枪。
第二天，伽罗瓦离开了人世，只有20岁。
它是数学中一个最大的损失。
只有到20世纪初
伽罗瓦才得到了充分的赞赏， 他的想法也完全实现了。
伽罗华提出了群的概念，
彻底解决了根式求解代数方程的问题。
某些几何对象的对称性似乎是关键。
他的思想，利用几何来分析方程
被另一个巴黎数学家，安德烈.韦伊 (Andre Weil)于1920年重新找到。
我对学校里所有可能分支都非常感兴趣，
还学的很好。
在德国以及法国学习后，
安德烈在巴黎的公寓定居下来，
与更著名的妹妹--作家西蒙娜.韦伊合住。
但是，当第二次世界大战爆发， 他发现自己很不同的境遇。
他躲避征兵逃往芬兰， 在那里差一点成为俄罗斯间谍被处决。
在他返回法国后，他因开小差的 被收监到鲁昂(法国港市)监狱中等审判。
在审判时，法官给了他一个选择。
5年徒刑或在作战部队服役。
他选择了在法国军队服役，
非常幸运的选择，因为就在德国入侵前几个月，
所有犯人都被杀了。
韦伊只在狱中度过了几个月， 但这是他数学生涯中的关键期。
因为在这里他在伽罗瓦思想上， 首先发展了代数几何，
一个理解方程解的全新语言。
伽罗瓦已经显示出新的数学结构
可以用来揭示方程背后的秘密。
韦伊的工作使它定理化
联系数论，代数，几何和拓扑。
是现代数学的最大成就之一。
没有安德烈.韦伊，
我们将不会听说数学史上的奇人--- 尼古拉·布尔巴基
虽然没有布尔巴基的照片， 但我们知道他诞生在拉丁区的咖啡馆。
1934年，这是一家咖啡馆， 卡普拉德咖啡馆，
现在变成了快餐店。
沿着路走，我遇到了布尔巴基的 专家大卫奥班（David Aubin）。
我还是一名研究生的时候，
当我过去走进图书馆，经常感到很害怕，
因为布尔巴基这个人写了那么多书。
一起大概有30或40本。
关于分析，几何，拓扑学，这一切都是新的基础。
20世纪50，60，70年代， 世界各地研究数学的每个人都
可能曾经读过尼古拉布尔巴基。
我听到他申请美国数学协会会员，
他被拒绝会员资格，
理由是他不存在这一点。
美国人是对的。
尼古拉布尔巴基根本不存在的，从来就没。
布尔巴基是一群法国数学家的笔名
领导者是安德烈.韦伊.
决定写一本20世纪的数学原理。
多数情况下,数学家喜欢用 自己的名字给定理命名。
但布尔巴基学派除外，
该项目旨在推翻任何个人荣耀的愿望。
第二次世界大战后，
布尔巴基接力棒交到下一代法国数学家。
最辉煌的成员是亚历山大·格罗滕迪克 （Alexander Grothendieck）
法国高等科学研究所（IHES）
相当于法国的普林斯顿高级研究院，
20世纪50、60年代， 格罗滕迪克主持著名的研讨会。
他有令人难以置信的魅力。
他有惊人的能力，一种令人难以置信的洞察力。
能够看出一位年轻的人可能 在数学上作出什么样的贡献。
洞察力使他能够理解一些非常困难的想法。
他说，“假如你要打开一个核桃。
“标准答案是取胡桃夹子，打开核桃。”
他说，他的做法更像是，
你把这个核桃埋在雪地里，
离开数个月后，
当你再回来时，它就开了。
格罗滕迪克是一个构造主义者。
他所感兴趣的是所有隐藏在数学下面的结构。
只有当你开始认真处理基本结构， 概括地思考，
数学模式将变得清晰起来。
格罗滕迪克产生了强大的新语言， 一种看结构的新方式。
这就像生活在一个黑白世界中，
突然有语言可以用彩色看世界。
这是数学家至今一直在使用的语言，
用于解决数论，几何，甚至基础物理的问题。
但在60年代末，在他发现政治之后，
格罗滕迪克迪克决定放弃数学，
他认为，核战争和核裁军
问题的威胁比数学更重要，
与其继续做数学
不如对抗核战对世界的伤害的威胁。
格罗滕迪克决定离开巴黎
回到他成长的法国南部。
激进的政治，其次是神经失常，
使他移居到比利牛斯山做了隐士。
现在，他失去了与他的老朋友 和数学同事的联系。
然而，他的成就意味着他与康托尔，
哥德尔和希尔伯特这些改变了 数学局面的人站在一列。
他从根本上改变整个话题。 永远都不会回去了。
无疑，他是20世纪的主导人物。
我已经回到英国，但是，
再想起另一个20世纪的开创性人物。
是这个人在1900年给数学家留
下了希尔伯特的23个问题，
其中大多数问题现在已经解决了。
但是有一个例外。
黎曼假设，希尔伯特第八个问题。
它仍然是数学的圣杯。
希尔伯特的演讲鼓舞一代人的 追求他们的数学梦想。
今天上午，在我长大的这个镇， 我希望激励另一代。
谢谢， 大家好。我叫马库斯·杜·桑托伊
我是一个数学教授，
在牛津大学执教。
正是在这所学校，事实上在这个教室，
我发现了对数学的爱。
在这所老的综合中学， 我获得的第一次对数学的爱，
现在仍然激励着我。
这是一种对解决问题的热爱。
我可以介绍许多问题，
但我选择了我特别喜欢的。
我认为数学家是一个模式搜索者，
这也确实是数学家试法做的。
我们设法了解模式和结构，
用逻辑的方式解释我们周围世界。
这是黎曼假设的真正核心。
题目是：这些数字有没有模式，
使我知道下一个是什么数？
31后面一个是什么？我怎么知道？
这些数字，当然
是数学的基石---素数。
黎曼假设---关于素数分布的猜想
非常接近与我们问题的核心。
究竟为什么任何人对这些素数有兴趣？
为什么军队对素数感兴趣，间谍也是？
是不是可以用于加密？没错。
我研究这个东西，因为我认为 它真正美丽，简洁的。
但实际上，很多人对这些数字感兴趣是
因为它们的实用性。
奇怪的是越抽象和越难的数学，
在现实世界中越有应用价值。
现在数学无处不在。
每当我们打开电视，插上电脑， 使用信用卡支付。
现在，悬赏100万美元以征求解答黎曼假设。
除了证明定理的人都将永垂青史，
还有更重要的关系，
他们将比其他任何一个数学家领先一步。
这是因为黎曼假设是数学的一个墙角石。
数以千计的定理依赖于它的正确性。
极少数数学家认为是不正确的。
但数学是需要证明的，
除非我们能够证明它，否则仍旧是不确定的。
数学产生于这种摆脱疑惑的激情。
这正是我在旅途中通过数学史体会到的。
如数学家阿基米德和花拉子密， 高斯和格罗滕迪克
被激励去了解数字和空间运行的精确方式。
数学在其中运转。
它是美丽的，真的很美妙。
使用数学语言，他们告诉我们的故事
在今天依然正确，如同当初第一次讲的。
地中海，我发现了几何学的起源。
数学家和哲学家涌入亚历山大
出于对知识的渴望和卓越的追求。
印度，我获得了另一个发现
这在现代生活中是无法想象的。
这里是数学世界真正的圣地之一。
这里有一些数字..
这里是新的数，
0。
中东，我惊讶于花拉子米的代数发明。
他开发的系统方法，
能够分析问题，无论你取什么数都有解。
在数学的黄金时代，
在欧洲，十八，十九世纪时， 我发现数学的新方法，
用于分析运动的物体和新几何，
有助于我们了解空间的奇怪形状。
与黎曼的工作一起，
我们终于有了能够探索心灵世界的数学眼镜。
现在我的旅程进入20世纪的抽象数学世界，
揭示了
数学是上帝用来书写宇宙的文字，
数学是科学的大门钥匙。
数学家不是出于金钱和物质利益的动机，
甚至工作的实际应用，
对我们来说，这是一个荣耀，
解决曾愚弄几代数学家， 悬而未决的重大问题。
希尔伯特是正确的。
悬而未决的大问题是数学发展的源泉。
它时刻困扰着新一代数学家。
尽管我们已经发现了7千年前的东西，
但仍有许多事情我们不明白。
正如希尔伯特呼吁， “我们必须知道，我们必将知道”。